第三章 微专题2 巧用函数性质的二级结论解题-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 关于函数的奇偶性、周期性、对称性，有很多重要的二级结论，运用这些结论解题非常高效，举例说明如下： 类型一　应用奇函数的二级结论解题 结论1：如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有意义，那么f(0)＝0． 结论2：若奇函数f(x)在关于原点对称的区间上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0． 结论3：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c． 结论4：若函数f(x)是奇函数，且在关于原点对称的区间上有最值，g(x)＝f(x)＋c，则必有g(x)max＋g(x)min＝2c． 　(1)(2022·河南西平中学模拟)已知函数f(x)＝＋1，且f(a)＝5，则f(－a)＝(　　) A．2 B．3 C．－2 D．－3 答案　D 解析　设g(x)＝，因为g(x)的定义域为R，g(－x)＝＝－＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，又g(a)＝f(a)－1＝4，所以g(－a)＝f(－a)－1＝－4，则f(－a)＝－3．故选D． (2)(2022·河南温县一中月考)若函数f(x)＝在区间[－3，5]上的最大值、最小值分别为p，q，则p＋q的值为(　　) A．2 B．1 C．6 D．3 答案　C 解析　因为f(x)＝＝3－，所以f(x)－3＝－，则f(x＋1)－3＝－，即函数f(x＋1)－3为奇函数，所以它在区间[－4，4]上的最大值、最小值之和为0，即p－3＋q－3＝0，所以p＋q＝6．故选C． 方法总结　已知f(x)＝奇函数＋M，x∈[－a，a]，则f(－x)＋f(x)＝2M，f(x)max＋f(x)min＝2M． 对点训练 1．(2023·重庆一中月考)已知函数f(x)＝ax3＋b sin x＋3，若f(m)＝2，则f(－m)＝(　　) A．4 B．5 C．7 D．－2 答案　A 解析　g(x)＝f(x)－3＝ax3＋b sin x为R上的奇函数，则g(m)＋g(－m)＝0，即f(m)－3＋f(－m)－3＝0，则f(－m)＝4．故选A． 2．(2023·黑龙江哈尔滨三中月考)函数f(x)＝(x2－2x)(ex－1－e1－x)＋x在区间[－1，3]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为(　　) A．－2 B．0 C．2 D．4 答案　C 解析　由题意，函数g(x)＝(x2－1)(ex－e－x)＋x为[－3，3]上的奇函数，其图象关于原点对称，又函数f(x)＝[(x－1)2－1](ex－1－e1－x)＋(x－1)＋1的图象可由g(x)的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，所以函数f(x)的图象关于点(1，1)对称，所以M＋N＝2．故选C． 类型二　应用周期性的二级结论解题 对f(x)定义域内任一自变量的值x(a，b为常数，a≠b)： 结论1：若f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a； 结论2：若f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a； 结论3：若f(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)(a≠0)，则f(x)的一个周期为6a； 结论4：若f(x＋a)＝(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a； 结论5：若f(x＋a)＝－(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a； 结论6：若函数f(x)的图象关于直线x＝a与x＝b对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|； 结论7：若函数f(x)的图象关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|； 结论8：若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为4|b－a|． 　(1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝1，则f(k)＝(　　) A．－3 B．－2 C．0 D．1 答案　A 解析　因为f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令x＝1，y＝0可得2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2，令x＝0可得f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(y)＝f(－y)，所以函数f(x)为偶函数，令y＝1得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，从而可知f(x＋2)＝－f(x－1)，f(x－1)＝－f(x－4)，故f(x＋2)＝f(x－4)，即f(x)＝f(x＋6)，所以函数f(x)的一个周期为6．因为f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)