第三章 第9节 函数模型及其应用-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第九节　函数模型及其应用 课标解读：1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用． 考向预测：近三年高考考查函数模型及应用，一般出现在选择题和填空题，有时与导数综合作为解答题的一问呈现，难度较大．预计2024年高考会考查指数函数模型或对数函数模型在生活实际中的应用，以选择题的形式出现． 1．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0) 与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0) 与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 2．指数、对数、幂函数模型性质比较 函数性质 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的 变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax 3．解答函数应用题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下： “直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小． 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　) (2)某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则每件还能获利．(　　) (3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度会超过并远远大于y＝xn(n＞0)和y＝logax(a＞1)的增长速度．(　　) (4)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．小题热身 (1)在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 －0.01 0.98 2.00 则关于x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 答案　D 解析　根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D． (2)设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　) 答案　D 解析　根据题意，甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，那么可知先是匀速运动，图象为直线，然后再休息，路程不变，时间持续10分钟，最后还是匀速运动，路程变大，图象为直线．故选D． (3)(2023·广东湛江高三阶段考试)2022年4月16日，神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天的中国空间站，安全返回地球．中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式为Δv＝veln ，其中Δv为火箭的速度增量，ve为喷流相对于火箭的速度，m0和m1分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，假设人类设计的某火箭ve达到5公里/秒，从100提高到600，则速度增量Δv增加的百分比约为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)(　　) A．15% B．30% C．35% D．39% 答案　D 解析　由题意，当＝100时，速度的增量为Δv1＝5ln 100；当＝600时，速度的增量为Δv2