第三章 第8节 函数与方程-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第八节　函数与方程 课标解读：1．理解函数的零点与方程解的联系，掌握函数的零点、方程的根、图象交点(横坐标)三者之间的灵活转化．2．理解函数零点存在定理，并能简单应用．3．了解用二分法求方程的近似解． 考向预测：从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是函数零点(方程的根)个数的判断及由零点存在定理判断零点是否存在．常常以基本初等函数为载体，结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，或利用函数零点确定参数的取值范围等．本讲也可与导数结合考查，题目的难度较大．预计2024年高考函数与方程仍会出题，可能以选择题或填空题考查三种形式的灵活转化，也可能与导数结合考查，题目的难度较大． 1．函数的零点 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2．方程的根与函数零点的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． 3．函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，c也就是方程f(x)＝0的解． 4．二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法．求方程f(x)＝0的近似解就是求函数y＝f(x)零点的近似值． 5．给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤 (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0． (2)求区间(a，b)的中点c． (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间 ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c． (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值为a(或b)，否则重复步骤(2)～(4)． 函数零点的相关技巧： (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数f(x)，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号． (3)连续不断的函数f(x)通过零点时，函数值不一定变号． (4)连续不断的函数f(x)在闭区间[a，b]上有零点，不一定能推出f(a)f(b)＜0． 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　) (2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)＜0．(　　) (3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac＜0，则f(x)无零点．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．小题热身 (1)(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) －4 －2 1 4 2 －1 －3 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　) A．(1，2) B．(2，3) C．(5，6) D．(5，7) 答案　BCD 解析　由所给的函数值表知，f(1)f(2)＞0，f(2)f(3)＜0，f(5)f(6)＜0，f(5)f(7)＜0，∴f(x)在区间(2，3)，(5，6)，(5，7)内各至少有一个零点．故选BCD． (2)已知函数f(x)＝则f(x)的零点为_________． 答案　－2，e 解析　由f(x)＝0，得或 解得x＝－2或x＝e． (3)方程2x＋x＝k在(1，2)内有解，则实数k的取值范围是_________． 答案　(3，6) 解析　设f(x)＝2x＋x，∴f(x)在(1，2)上单调递增，又f(1)＝3，f(2)＝6，∴3＜k＜6． (4)函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点个数为_________． 答案　1 解析　解法一：令f(x)＝0，可得方程ln x＋x2－3＝0，即ln x＝3－x2，故原函数的零点个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2图象的交点个数．在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象(如图)．由图可知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，故函数f(x)＝ln x＋x2－3只有一个零点． 解法二：∵f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0，f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，∴f(1)f(2)＜0，又f(x)＝ln