第三章 第6节 对数与对数函数-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第六节　对数与对数函数 课标解读：1．理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．2．通过具体实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与其图象上的特殊点．3．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1)． 考向预测：对数函数中利用性质比较对数值大小，求对数函数的定义域、值域、最值等仍是高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，属于中档题．作为另一种重要的基本初等函数，对数函数比指数函数在高考中更加常见，除了基本的对数运算、图象与性质外，对数运算还经常与其他知识综合考查．预计2024年高考会考查对数函数的图象以及单调性等性质． 1．对数的概念 (1)定义：一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)常用对数和自然对数 ①常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg_N． ②自然对数：以e为底的对数叫做自然对数，并把logeN记为ln_N． 2．对数的性质 (1)负数和0没有对数； (2)loga1＝0； (3)logaa＝1； (4)对数恒等式：alogaN＝N；logaab＝b(a＞0，且a≠1)． 3．对数的运算性质 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 4．换底公式：logab＝(a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)． 5．对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)． (2)对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 当x＝1时，y＝0，即图象过定点(1，0) 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 6．反函数 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．它们的定义域和值域正好互换． 1．换底公式的两个重要结论 (1)logab＝(a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1)． (2)logambn＝logab(a＞0，且a≠1；b＞0；m，n∈R，且m≠0)． 2．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b． 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限． 4．对数值的符号法则：logab＞0⇔(a－1)(b－1)＞0，logab＜0⇔(a－1)(b－1)＜0，其中a＞0，a≠1，b＞0． 5．对于函数f(x)＝|logax|(a＞0, 且a≠1)，若f(m)＝f(n)(m≠n)，则必有mn＝1． 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)loga(MN)＝logaM＋logaN．(　　) (2)logax·logay＝loga(x＋y)．(　　) (3)log2x2＝2log2x．(　　) (4)函数y＝log2x与y＝log的图象重合．(　　) (5)函数f(x)＝loga(a＞0，且a≠1)是奇函数．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2．小题热身 (1)(2023·吉林永吉四中月考)函数f(x)＝lg (x2－2x－3)的单调递增区间为(　　) A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(3，＋∞) D．(1，3) 答案　C 解析　设g(x)＝x2－2x－3，可得函数g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又由函数y＝lg (x2－2x－3)满足x2－2x－3＞0，解得x＜－1或x＞3，根据复合函数的单调性，可得函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)．故选C． (2)(2023·三省三校第一次联考)若a＝50.1，b＝log23，c＝log30.8，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 答案　A 解析　∵a＝50.1＞50＝1，b＝log23＝log2＞0且b＝log2＜log2＝1，c＝log30.8＜