第三章 第5节 指数与指数函数-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第五节　指数与指数函数 课标解读：1．了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．2．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．3．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 考向预测：1．在近三年的高考中，指数函数的图象及其性质均有涉及．一般考查指数型函数的图象和性质，也会和分段函数结合进行考查，还可能结合其他函数的性质综合考查，常以选择题或填空题的形式出现．2．指数函数是高考考查的重点内容之一，应当熟练掌握指数函数的概念、图象、单调性和奇偶性等常考知识点，能解决指数型函数图象的识别问题、利用指数函数的单调性比较大小以及求复合函数中参数的取值范围等问题．预计2024年高考中利用指数函数的性质比较大小、指数型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用是考查的热点，题型为选择题或填空题，难度中档． 1．根式 (1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*． (2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝a． 当n为奇数时， ＝a； 当n为偶数时， ＝|a|＝ 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂，a＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． 正数的负分数指数幂，a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r，s∈R)． 4．指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数． (2)指数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 图象过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1 当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 (1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数． (2)画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，． (3)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0．由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大． (4)指数函数y＝ax与y＝的图象关于y轴对称． 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) ＝－4．(　　) (2)2a·2b＝2ab．(　　) (3) ＝()n＝a．(　　) (4) ＝(－3)．(　　) (5)函数y＝2x－1是指数函数．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．小题热身 (1)式子(m＞0)的计算结果为(　　) A．1 B．m C．m D．m 答案　D 解析　＝＝m＋－＝m．故选D． (2)(多选)下列运算正确的是(　　) A．＝π－3 B．e2x＝(ex)2 C．＝a－b D．＝· 答案　ABC 解析　对于A, ＝|3－π|＝π－3，故A正确；对于B，e2x＝(ex)2成立，故B正确；对于C, ＝a－b成立，故C正确；对于D，当a＜0且b＜0时， 和 无意义，故D错误．故选ABC． (3)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是_________． 答案　c＜b＜a 解析　∵y＝是R上的减函数，∴＞＞，即a＞b＞1，又c＝＜＝1，∴c＜b＜a． (4)(2023·四川成都蓉城名校联盟入学联考)若函数f(x)＝+4ax在区间(1，2)上单调递增，则a的取值范围为_________． 答案　 解析　因为函数y＝是减函数，所以函数y＝－x2＋4ax在区间(1，2)上单调递减，则2a≤1，解得a的取值范围为． 考点一　指数幂的运算 　(1)已知x，y＞0，化简＝_________． 答案　－10y 解析　原式＝＝－10y． (2)计算：－0.752＋6－2×＝_________． 答案　1 解析　原式＝－＋× ＝－＋×＝－＋×＝1． 　　指数幂的运算 (1)运算顺序：有括号先算括号内的，无括号先进行指数的乘方、开方，再乘除后加减，底数是负数的先确定符号． (2)运算基本原则：①化负指数为正指数；②化根式为分数指数幂；③化小数为分数，化带分数为假分数． 　1．(2022·河北沧州联考)·(a＞0，b＞0)＝_________． 答案　 解析　原式＝＝． 2．若x＋x－＝3，则x2＋x－2＝_________． 答案　47 解