第三章 第4节 幂函数与二次函数-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第四节　幂函数与二次函数 课标解读：1．通过具体实例，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数．2．掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)． 考向预测：以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择题、填空题，中档难度．预计2024年高考对于幂函数的考查最多出一道选择题，以幂函数的图象和性质应用为主．对于二次函数的考查一般与其他知识综合，题型一般为选择题、填空题，中档难度． 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 性质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1，1) (3)在同一坐标系中的五个幂函数的图象 2．二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)； 两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 3．二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增；在上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－对称 1．二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关． 2．(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限． (2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0． 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝－x是幂函数．(　　) (2)当α＜0时，幂函数y＝xα在定义域内单调递减．(　　) (3)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．(　　) (4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．小题热身 (1)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则f＝(　　) A．－ B． C．± D． 答案　B 解析　设f(x)＝xα，∴2α＝，α＝，∴f(x)＝x，∴f＝． (2)如图是①y＝xa，②y＝xb，③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b 答案　D 解析　根据幂函数的性质，可知选D． (3)已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1，1]，则y的最小值是_________． 答案　－1 解析　因为函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为直线x＝＞1，所以函数y＝2x2－6x＋3在[－1，1]上单调递减，所以ymin＝2－6＋3＝－1． (4)已知α∈，若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则α＝_________． 答案　－1 解析　由y＝xα为奇函数，知α取－1，1，3，又y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，∴α＜0，∴α＝－1． 考点一　幂函数的图象与性质 　(1)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1＜m＜0＜n＜1 B．－1＜n＜0＜m＜ C．－1＜m＜0＜n＜ D．－1＜n＜0＜m＜1 答案　D 解析　幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0＜α＜1时，图象上凸，∴0＜m＜1．当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由图象得2－1＜2n，则－1＜n＜0．综上，－1＜n＜0＜m＜1．故选D． (2)(2022·辽宁名校联盟联考)当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为减函数，则m＝_________． 答案　2 解析　由m2－m－1＝