第三章 第3节 函数的奇偶性与周期性-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第三节　函数的奇偶性与周期性 课标解读：1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义，会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．2．了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．3．会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题． 考向预测：以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，题型以选择题、填空题为主，难度中档偏上．本节复习时应结合具体的实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性、对称性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能，重点是综合利用函数的性质解决有关问题．预计2024年高考函数的奇偶性仍是必考内容，可能会考查具有奇偶性函数的图象、性质以及借助函数的奇偶性求解函数的解析式等． 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 1．函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． (2)若函数f(x)不是常数函数，当f(x)是奇函数时，在两个对称的区间上具有相同的单调性；当f(x)是偶函数时，在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数图象对称性的四个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称． (3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．特别地，当a＝b，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．特别地，当b＝0，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称． 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0．(　　) (2)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　) (3)函数f(x)的定义域为R，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数．(　　) (4)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点对称．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．小题热身 (1)已知奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝2x－m(m为常数)，则f(－2)＝(　　) A．1 B．2 C．－3 D．3 答案　C 解析　由于f(x)是奇函数，所以f(0)＝20－m＝1－m＝0，即m＝1，即x≥0时，f(x)＝2x－1，所以f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3．故选C． (2)已知f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x＋ln (x＋1)，则当x＜0时，f(x)＝(　　) A．－x－ln (1－x) B．x－ln (1－x) C．－x＋ln (1－x) D．x＋ln (1－x) 答案　C 解析　当x＜0时，－x＞0，则f(x)＝f(－x)＝－x＋ln (1－x)．故选C． (3)(2022·陕西西安八校联考)已知函数f(x－1)是偶函数，若f(x＋1)的图象关于直线l对称，则直线l的方程为(　　) A．x＝－2 B．x＝－1 C．x＝1 D．x＝2 答案　A 解析　因为函数f(x－1)是偶函数，所以f(x－1)的图象关于直线x＝0对称，f(x－1)的图象向左平移2个单位可得f(x＋1)的图象，所以f(x＋1)的图象关于直线x＝－2对称．故选A． (4)(2022·湘豫名校联考)已知f(x)＝