第三章 第2节 函数的单调性与最值-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第二节　函数的单调性与最值 课标解读：1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．2．理解函数单调性的概念，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．3．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．4．会求一些具体函数的单调区间． 考向预测：以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择题、填空题，又有解答题．预计2024年高考仍会考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中档偏上． 1．(1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得 f(x0)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0) ＝M 结论 M为最大值 M为最小值 1．函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 (1)＞0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0)⇔f(x)在D上单调递增； (2)＜0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0)⇔f(x)在D上单调递减． 2．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： (1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数； (2)若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)单调性相反； (3)函数y＝f(x)(f(x)＞0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反； (4)复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”． 3．函数最值存在的两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点取到； (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝在定义域内单调递减．(　　) (2)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　) (3)因为y＝x与y＝ex都是增函数，所以y＝xex在定义域内为增函数．(　　) (4)若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1，3)上为增函数．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．小题热身 (1)(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　　) A．f(x)＝－x B．f(x)＝ C．f(x)＝x2 D．f(x)＝ 答案　D 解析　解法一(排除法)：取x1＝－1，x2＝0，对于A，有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以A不符合题意；对于B，有f(x1)＝，f(x2)＝1，所以B不符合题意；对于C，有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以C不符合题意．故选D． 解法二(图象法)：如图，在同一平面直角坐标系中分别作出A，B，C，D四个选项中函数的大致图象，由图可快速直观地判断D项符合题意．故选D． (2)函数y＝在区间[2，3]上的最大值是(　　) A． B．2 C．3 D． 答案　B 解析　∵函数y＝＝1＋在[2，3]上单调递减，∴当x＝2时，y＝取得最大值＝2． (3)函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) 答案　D 解析　函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1．由x2－2x－8＞0，解得x＞4或x＜－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)． (4)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为_________． 答