第三章 第1节 函数的概念及其表示-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第一节　函数的概念及其表示 课标解读：1．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 考向预测：以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏上．预计2024年高考函数的定义域、值域、解析式仍会出题，一般在选择题或填空题中出现，分段函数的考查比较灵活，各种题型都可能涉及． 1．函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A． 2．函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系、值域． (3)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、列表法和图象法． 4．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． (3)各段函数的定义域区间端点应不重不漏． 1．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点． 2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 3．分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论． 4．判断两个函数是否相同，要抓住的两点 (1)定义域是否相同． (2)对应关系是否相同，当解析式可以化简时，要注意化简过程的等价性． 5．常见函数的定义域 (1)一次函数、二次函数的定义域为R． (2)分式函数中分母不等于0． (3)偶次根式函数的被开方式大于或等于0． (4)零次幂的底数不能为0． (5)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R． (6)y＝logax(a＞0，a≠1)的定义域为{x|x＞0}． (7)y＝tan x的定义域为． 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(　　) (2)对于函数f：A→B，其值域是集合B．(　　) (3)函数f(x)＝＋的定义域为∅．(　　) (4)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．小题热身 (1)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 答案　B 解析　A中函数的定义域不是[－2，2]，C中图象不表示函数，D中函数的值域不是[0，2]．故选B． (2)设f(x)＝则f(f(11))的值是(　　) A．1 B．e C．e2 D．e－1 答案　B 解析　因为f(11)＝log3(11－2)＝log332＝2，所以f(f(11))＝f(2)＝e．故选B． (3)下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是(　　) A．y＝ B．y＝()2 C．y＝log22x D．y＝2log2x 答案　C 解析　对于A，y＝ ＝|x|与函数y＝x的对应关系不一样；对于B，y＝()2的定义域为{x|x≥0}，与函数y＝x的定义域不一样；对于D，y＝2log2x的定义域为{x|x＞0}，与函数y＝x的定义域不一样；对于C，y＝log22x＝x，定义域和对应关系都相同，故选C． (4)(2022·北京高考)函数f(x)＝＋的定义域是_________． 答案　(－∞，0)∪(0，1] 解析　因为f(x)＝＋，所以 解得x≤1且x≠0，故函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，1]． (5)已知函数f(x)＝，若f(a)＝3，则实数a＝_________． 答案　10 解析　因为f(a)＝＝3，所以a－1＝9，即a＝10． 考点一　　函数的概念　　　　　　　　　　　　　　　　 　(1)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图象中，能表示集合M到集合N的函数关系的是(　　)