第七章 高考解答题专项突破3 数列的综合问题-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 [考情分析]　预计2024年高考会考查等差、等比数列的基本运算和数列求和的问题，可能与函数、方程、不等式等知识综合起来进行考查． 考点一 等差、等比数列的综合问题 　(2022·山东滨州模拟)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，n∈N*. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Sn，求S100. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为b2＝4，所以a2＝2log2b2＝4， 所以d＝a2－a1＝2， 所以an＝2＋(n－1)×2＝2n. 又an＝2log2bn，即2n＝2log2bn， 所以n＝log2bn，所以bn＝2n. (2)由(1)得bn＝2n＝2·2n－1＝a2n－1， 即bn是数列{an}中的第2n－1项． 设数列{an}的前n项和为Pn，数列{bn}的前n项和为Qn， 因为b7＝a26＝a64，b8＝a27＝a128， 所以数列{cn}的前100项是由数列{an}的前107项去掉数列{bn}的前7项后构成的， 所以S100＝P107－Q7＝－＝11302. 　　对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系．利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解，求解时注意对性质的灵活运用． 　1.(2022·浙江高考)已知等差数列{an}的首项a1＝－1，公差d>1.记{an}的前n项和为Sn(n∈N*)． (1)若S4－2a2a3＋6＝0，求Sn； (2)若对于每个n∈N*，存在实数cn，使an＋cn，an＋1＋4cn，an＋2＋15cn成等比数列，求d的取值范围． 解　(1)因为S4－2a2a3＋6＝0，a1＝－1， 所以－4＋6d－2(－1＋d)(－1＋2d)＋6＝0， 所以d2－3d＝0， 又d>1，所以d＝3，所以an＝3n－4， 所以Sn＝＝. (2)因为an＋cn，an＋1＋4cn，an＋2＋15cn成等比数列， 所以(an＋1＋4cn)2＝(an＋cn)(an＋2＋15cn)， (nd－1＋4cn)2＝(－1＋nd－d＋cn)(－1＋nd＋d＋15cn)， c＋(14d－8nd＋8)cn＋d2＝0， 由已知可得方程c＋(14d－8nd＋8)cn＋d2＝0的判别式大于等于0， 所以Δ＝(14d－8nd＋8)2－4d2≥0， 所以(16d－8nd＋8)(12d－8nd＋8)≥0对于任意的n∈N*恒成立， 所以[(n－2)d－1][(2n－3)d－2]≥0对于任意的n∈N*恒成立， 当n＝1时，[(n－2)d－1][(2n－3)d－2]＝(d＋1)(d＋2)≥0， 当n＝2时，由(2d－2d－1)(4d－3d－2)≥0，可得d≤2， 当n≥3时，[(n－2)d－1][(2n－3)d－2]>(n－3)(2n－5)≥0， 又d>1，所以1<d≤2，即d的取值范围为(1,2]． 考点二 通项与求和问题 　(2023·黑龙江哈九中模拟)在①S3＝2a3－15，②a2＋6是a1，a3的等差中项，③2Sn＝tn＋1－3(t≠0)这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，并解答． 已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，且满足________. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设an＝bn－，求数列的前n项和Tn. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解　(1)设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)， 若选①：由S3＝2a3－15，得a1＋a2＋a3＝2a3－15， 所以a3－a2－a1＝15， 又由a1＝3，可得3q2－3q－18＝0， 解得q＝3或q＝－2(舍去)， 所以an＝3×3n－1＝3n(n∈N*)． 若选②：由a2＋6是a1，a3的等差中项， 可得a1＋a3＝2(a2＋6)， 又因为a1＝3，可得3＋3q2＝2(3q＋6)，即q2－2q－3＝0， 解得q＝3或q＝－1(舍去)， 所以an＝3×3n－1＝3n(n∈N*)． 若选③：由2Sn＝tn＋1－3(t≠0)， 当n＝1时，2a1＝6＝2S1＝t2－3，解得t＝3或t＝－3(舍去)，所以2Sn＝3n＋1－3， 当n≥2时，2an＝2Sn－2Sn－1＝3n＋1－3－(3n－3)＝2·3n，所以an＝3n(n≥2)．经验证当n＝1时，满足an＝3n， 所以an＝3n(n∈N*)． (2)由(1)知an＝3n，所以bn－＝3n， 所以2＝9n，所以b＋＝9n＋2， 所以Tn＝＋＋…＋＝(91＋2)＋(92＋2)＋…＋(9n＋2)＝91＋92＋…＋9n＋2n＝＋2n＝. 　　解决非等差、等比数列的求