第七章 第3节 等比数列-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第三节　等比数列 课标解读：1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系． 考向预测：预计2024年高考会从以下两个角度来考查：(1)等比数列及其前n项和的基本运算与性质，可能与等差数列综合出题，难度较小；(2)等比数列的综合应用，可能与函数、方程、不等式结合考查，难度中档. 1．等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)． 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数)． (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时G2＝ab. 2．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3．等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和． (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有akal＝aman. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm. (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn. 1．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{can}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{anbn}，也是等比数列． 2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. 3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误． 4．三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3. 5．若已知等比数列{an}，公比为q，前n项和为Sn，则Sn＝＝·qn＋＝kqn－k(k≠0，q≠1)，即Sn为关于n的指数型函数，且qn的系数与常数项互为相反数． 6．{an}为等比数列，若a1a2…an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． 7．若{an}为正项等比数列，则{logcan}(c>0，c≠1)为等差数列． 8．若{an}为等差数列，则{can}(c>0，c≠1)为等比数列． 9．若{an}既是等差数列又是等比数列⇔{an}是非零常数列． 10．(1)项的个数的“奇偶”性质，在等比数列{an}中，公比为q. ①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q； ②若共有2n＋1项，则＝q. (2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm⇔qn＝(q为公比)． 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　) (2)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　) (3)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　　) (4)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　) (5)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．小题热身 (1)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　　) A．16 B．8 C．4 D．2 答案　C 解析　设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，则解得 ∴a3＝a1q2＝4.故选C. (2)设b∈R，数列{an}的前n项和Sn＝3n＋b，则(　　) A．{an}是等比数列 B．{an}是等差数列 C．当b＝－1时，{an}是等比数列 D．当b≠－1时，{an}是等比数列 答案　C 解析　当n＝1时，a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1，当b＝－1时，a1＝2适合an＝2·3n－1，{an}是等比数列．当b≠－1时，a1不适合an＝2·3n－1，{an}不是等比数列． (3)(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　A 解析　解法一：因为S2＝4，S4＝6，且易知公比q≠±1，所以由等比数列的前n项和公式，得 两式相除，得q2＝，所以或所以S6＝＝7.故选A. 解法二：易知S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列，由等比中项得S2(S6－S4)＝(S