第七章 第2节 等差数列-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第二节　等差数列 课标解读：1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系． 考向预测：预计2024年高考将会从以下两个角度来考查：(1)等差数列及其前n项和的基本运算与性质；(2)等差数列的综合应用，可能与等比数列、函数、方程、不等式相结合考查，难度中档. 1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)． (2)等差中项 若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b. 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝或Sn＝na1＋d. 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若已知等差数列{an}，公差为d，前n项和为Sn，则 ①等间距抽取ap，ap＋t，ap＋2t，…，ap＋(n－1)t，…为等差数列，公差为td； ②等长度截取Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…为等差数列，公差为m2d； ③算术平均值，，，…，即数列为等差数列，公差为. (3)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝； 若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an，S奇－S偶＝an，＝. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}(其中p，q为常数)也是等差数列． 1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． 3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列． 4．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 5．若{an}与{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn与Tn，则＝. 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若数列{an}满足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列．(　　) (2)等差数列的前n项和Sn是项数为n的二次函数．(　　) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　) (4)等差数列{an}的前n项和Sn＝.(　　) (5)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn与an不可能相等．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)× 2．小题热身 (1)(2022·福建福州质检)在等差数列{an}中，若a1＋a2＝5，a3＋a4＝15，则a5＋a6＝(　　) A．10 B．20 C．25 D．30 答案　C 解析　等差数列{an}中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为d，若a1＋a2＝5，a3＋a4＝15，则d＝15－5＝10，因此a5＋a6＝(a3＋a4)＋d＝15＋10＝25. (2)(2022·山东青岛一模)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则数列{an}的通项公式为an＝(　　) A．n B． C．2n－1 D． 答案　B 解析　设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a1＋d＝3＋3d＝，解得d＝，∴an＝1＋(n－1)×＝. (3)(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________. 答案　2 解析　由2S3＝3S2＋6可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2. (4)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝2，且S6＝30，则S9＝________. 答案　126 解析　由已知可得解得 ∴S9＝9a1＋d＝－90＋36×6＝126. (5)已知数列{an}为等差数列，a2＋a8＝8，则a1＋a5＋a9＝________. 答案　12 解析　a1＋a9＝a2＋a8＝2a5＝8，则a5＝4，所以a1＋a5＋a9＝3a5＝12. 考点一 等差数列基本量的运算 　(1)已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案　C 解析　公差