第七章 第1节 数列的概念与简单表示法-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第一节　数列的概念与简单表示法 课标解读：1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表法、图象法、解析式法).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． 考向预测：预计2024年高考会以特殊数列为主，考查数列的通项公式与前n项和公式以及递推公式，在选择题、填空题或解答题中都会出现，难度适中. 1．数列的定义 按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 3．数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 4．数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法(通项公式和递推公式)． 5．数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N* 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 6．数列的前n项和 (1)表示：在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和． (2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　　) (2)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　) (3)在数列{an}中，对于任意正整数m，n，am＋n＝amn＋1，若a1＝1，则a2＝2.(　　) (4)已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是递增数列．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．小题热身 (1)在数列，，，2，，…中，第9个数是(　　) A．3 B．3 C. D．10 答案　B 解析　观察题目中的数列可知，根号里面的数是公差为1的等差数列，即，第9个数为＝3. (2)已知在数列{an}中，an＝－2n2＋25n＋30(n∈N*)，则数列{an}中的最大值是(　　) A．107 B．108 C．108 D．109 答案　B 解析　由题意可知an＝－2n2＋25n＋30＝－22＋108，由于n∈N*，故当n取距离最近的正整数6时，an取得最大值108.∴数列{an}中的最大值为a6＝108. (3)已知数列{an}满足an＋1＝＋1，且a4＝6，则a1＝________. 答案　－ 解析　因为an＋1＝＋1，且a4＝6，所以6＝＋1，解得a3＝，又a3＝＋1，解得a2＝－5，又a2＝＋1，解得a1＝－. (4)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋3，则{an}的通项公式为________. 答案　an＝ 解析　当n＝1时，a1＝S1＝4，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，又a1＝4不适合上式，所以an＝ 考点一 利用an与Sn的关系求通项公式(多考向探究) 考向1　已知Sn求an 　(2022·山西大学附中三模)已知数列{an}满足条件a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，则数列{an}的通项公式为________. 答案　an＝ 解析　当n＝1时，a1＝14，因为a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，所以a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝2n＋3，当n≥2时，两式相减得，an＝(2n＋5)－(2n＋3)＝2，化简得an＝2n＋1，又a1＝14不符合上式，所以an＝ 　　已知Sn求an的步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式； (3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并． 　1.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，那么它的通项公式为an＝________. 答案　2n－3 解析　∵数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，∴a1＝S1＝－1，当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2－2(n－1)＝n2－4n＋3，故an＝Sn－Sn－1＝2n－3，当n＝1时，an＝2n－3也成立，故∀n∈N*，an＝2n－3. 考向2　已知an与Sn的关系求an 　已知数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝2，an＋1＝Sn，则a100＝(　　) A．297 B．298 C．299 D．2100 答案　C 解析　当n≥2时，由an＋1＝Sn　①，可得an＝Sn－1　②，两式相减得，an＋1－an＝an，