第六章 第4节 复数-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第四节　复数 课标解读：1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义． 考向预测：复数是高考必考内容，一般出现在选择题前两题中，比较简单，分值为5分，主要考查复数的加、减、乘、除运算及复数的几何意义．预计2024年高考会考查复数运算，题型、位置不变. 1．复数的有关概念 (1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位． (2)复数的分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R) (3)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数 a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝ (a，b∈R)． 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3．复数的四则运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－. 1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. 2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)． 3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)． 4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)． 5．复数z的方程在复平面内表示的图形 (1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，a和b为半径的两圆所夹的圆环． (2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆． 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数z＝a－bi(a，b∈R)中，虚部为b.(　　) (2)复数可以比较大小．(　　) (3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．(　　) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．小题热身 (1)(2022·新余模拟)若复数z满足＝1－i，则复数的虚部为(　　) A．i B．－i C．1 D．－1 答案　C 解析　∵＝1－i，∴z(1＋i)(－i)＝(2－i)(1－i)，∴z(1－i)＝(2－i)(1－i)，∴z＝2－i，∴＝2＋i，∴复数的虚部为1. (2)已知z＝1－3i，则|－i|＝________. 答案　 解析　∵z＝1－3i，∴＝1＋3i，∴－i＝1＋3i－i＝1＋2i，∴|－i|＝＝. (3)复数z＝(3＋i)(1－4i)，则复数z的实部与虚部之和是________. 答案　－4 解析　z＝(3＋i)(1－4i)＝3－12i＋i＋4＝7－11i，故实部与虚部之和为7－11＝－4. (4)若z＝，则|z|＝________；z＋＝________. 答案　　1 解析　z＝＝＝， |z|＝＝， z＋＝－i＋＋i＝1. 考点一 复数的有关概念 　(1)(2022·盐城三模)设i为虚数单位，复数z满足(－1＋i)z＝3＋i，则z的虚部是(　　) A．－1 B．i C．－2 D．－2i 答案　C 解析　(－1＋i)z＝3＋i⇒(－1＋i)(－1－i)z＝(3＋i)(－1－i)⇒2z＝－2－4i⇒z＝－1－2i，∴z的虚部为－2.故选C. (2)(2022·浙江高考)已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则(　　) A．a＝1，b＝－3 B．a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝－3 D．a＝1，b＝3 答案　B 解析　a＋3i＝－1＋bi，而a，b为实数，故a＝－1，b＝3.故选B. 　　解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． 　1.(2023·苏州期末)设i为虚数单位，