第六章 第3节 平面向量的数量积及其应用-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第三节　平面向量的数量积及其应用 课标解读：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题． 考向预测：预计2024年高考，平面向量数量积的概念及运算，与长度、夹角、平行、垂直有关的问题以及平面向量数量积的综合应用仍是考查的热点，会以选择题或填空题的形式出现. 1．向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． 2．平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 3．平面向量数量积的几何意义 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量，记为|a|cosθe. 4．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 5．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cosθ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cosθ＝ cosθ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 a∥b的 充要条件 a＝λb(λ∈R) x1y2－x2y1＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| (当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．有关向量夹角的两个结论 已知向量a，b， (1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0； (2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的夹角的范围是.(　　) (2)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角．(　　) (3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．(　　) (4)(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．小题热身 (1)(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　C 解析　由|a－2b|＝3，得|a|2－4a·b＋4|b|2＝9，代入|a|＝1，|b|＝，得a·b＝1.故选C． (2)(2022·福建福州期末)已知向量a＝(1,2)，b＝(m,1)，若向量a－b与a垂直，则|b|＝(　　) A．10 B． C． D．3 答案　B 解析　因为a＝(1,2)，b＝(m,1)，所以a－b＝(1－m,1)，因为向量a－b与a垂直，所以1×(1－m)＋2×1＝0，解得m＝3，所以b＝(3,1)，所以|b|＝ ＝. (3)(2023·北京模拟)已知向量a，b满足3|a|＝2|b|＝6，且(a－2b)⊥(2a＋b)，则a，b夹角的余弦值为________. 答案　－ 解析　设a，b的夹角为θ，依题意，得(a－2b)·(2a＋b)＝0，则2a2－3a·b－2b2＝0，故2×4－3×2×3×cosθ－2×32＝0，则cosθ＝－. 考点一 平面向量数量积的运算 　(1)(2023·江苏淮安模拟)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则(a＋b)·c＝________；a·b＝________. 答案　0　3 解析　如图，以点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，∴a＋b＝(4,0)，∴(a＋b)·c＝4×0＋0×1＝0，a·b＝2×2＋1×(－1)＝3. (2)(2022·广州模拟)在平面四边形ABCD中，已知＝，P为CD上一点，＝3，||＝4，||＝3，与的夹角为θ，且cosθ＝，则·＝________. 答案　－2 解析　如图所示，∵＝，∴四边形ABCD为