第六章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第二节　平面向量基本定理及坐标表示 课标解读：1.理解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 考向预测：预计2024年高考，平面向量基本定理及其应用及坐标表示和运算仍是考查的热点，题型仍将是选择题或填空题. 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 2．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 3．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝ . (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝ . 4．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 1．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为. 2．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．(　　) (2)设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　) (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.(　　) (4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．小题热身 (1)若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为(　　) A．(2,2) B．(3，－1) C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1) 答案　A 解析　设P(x，y)，由题意知＝，∴(x－1，y－3)＝(4－1,0－3)＝(1，－1)，即∴∴点P的坐标为(2,2)． (2)(2022·宁夏期末)已知向量a＝(1，－2)，b＝(－1，m)，若a∥b，则m的值为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案　C 解析　因为向量a＝(1，－2)，b＝(－1，m)，故由a∥b，可得1×m－(－2)×(－1)＝0，所以m＝2. (3)(2023·湖北宜昌阶段练习)已知向量a，b，c在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，用基底{a，b}表示c，则(　　) A．c＝－2a＋3b B．c＝2a－3b C．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b 答案　D 解析　建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝(2，1)－(1,0)＝(1,1)，b＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，c＝(7,1)－(0,4)＝(7，－3)．设c＝xa＋yb，则(7，－3)＝x(1,1)＋y(－2,3)，所以解得故c＝3a－2b.故选D． (4)(2023·广西梧州摸底)已知{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，且a＝e1＋e2，b＝3e1－2e2，c＝2e1＋3e2，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________. 答案　 解析　因为c＝λa＋μb＝λ(e1＋e2)＋μ(3e1－2e2)＝(λ＋3μ)e1＋(λ－2μ)e2，又因为c＝2e1＋3e2，所以解得所以λ＋μ＝. 考点一 平面向量基本定理的应用(多考向探究) 考向1　用基底表示向量 　如图，以向量＝a，＝b为邻边作平行四边形OADB，OD，AB相交于点C，＝，＝，则＝________(用a，b表示)． 答案　a－b 解析　∵＝－＝a－b，＝＝a－b，∴＝＋＝b＋＝a＋b.∵＝a＋b，∴＝＋＝＋＝＝a＋b.∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b. 　　 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 　1.(2023·山东青岛二中阶段考试)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，设＝a，＝b，则