第六章 第1节 平面向量的概念及线性运算-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第一节　平面向量的概念及线性运算 课标解读：1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义． 考向预测：近三年的高考主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘)及其几何意义、共线向量定理，有时也会有创新的新定义问题．预计2024年高考仍会考查线性运算，题型以选择题、填空题为主，难度属中、低档. 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模). (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量． 规定：零向量与任意向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝.特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)． 3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心，＝(＋)． 4．若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 5．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关．(　　) (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.(　　) (3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　) (4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．小题热身 (1)对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若a＋b＝0，则a＝－b，则a∥b，即充分性成立；若a∥b，但a＝－b不一定成立，即必要性不成立，所以“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件． (2)(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．若a与b都是单位向量，则a＝b B．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合 D．海拔、温度、角度都不是向量 答案　CD 解析　A错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；B错误，由于只有方向，没有大小，故x轴、y轴不是向量；C正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；D正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量． (3)已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________. 答案　－ 解析　由题意知，存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以解得 考点一 平面向量的有关概念 　(多选)给出下列命题，不正确的有(　　) A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形 C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线 答案　ACD 解析　两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，A错误；因为＝，所以||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形，B正确；当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件，C错误；当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线，D错误． 　　平行向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． (4)是与a同方向的单位向量． 　1.(多选