第九章 高考解答题专项突破(五) 圆锥曲线的综合问题-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 [考情分析]　从近几年的新高考试题来看，解析几何是高考的重点，约占整个试卷的15%，通常以一大两小的模式命题．我们发现对解析几何大题的考查，考题一般放在第21题的位置，相应的题目较难．所以我们重点讲解一下解析几何部分常考的六大问题的解题方法． 第1课时　定点、定值问题 考点一　定点问题(多考向探究) 考向1　直接推理法求定点问题 　(2023·广东汕头模拟)设点M为圆C：x2＋y2＝4上的动点，点M在x轴上的投影为N.动点P满足2＝，动点P的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程； (2)设E的左顶点为D，若直线l：y＝kx＋m与曲线E交于A，B两点(A，B不是左、右顶点)，且满足|＋|＝|－|，求证直线l恒过定点，并求出该定点的坐标． 解　(1)设点M(x0，y0)，P(x，y)， 由题意可知N(x0,0)， ∵2＝， ∴2(x0－x，－y)＝(0，－y0)， 即x0＝x，y0＝y， 又点M在圆C：x2＋y2＝4上， ∴x＋y＝4， 将x0＝x，y0＝y代入，得＋＝1， 即轨迹E的方程为＋＝1. (2)由(1)可知D(－2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立，得消去y，得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，Δ＝(8mk)2－4(3＋4k2)·(4m2－12)＝16(12k2－3m2＋9)＞0， 即3＋4k2－m2＞0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝， y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝. ∵|＋|＝|－|，∴⊥， 即·＝0，即(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0， ∴＋2×＋4＋＝0， ∴7m2－16mk＋4k2＝0，解得m1＝2k，m2＝k，且均满足3＋4k2－m2＞0. 当m＝2k时，直线l的方程为y＝kx＋2k＝k(x＋2)，直线恒过点(－2,0)，与已知矛盾； 当m＝k时，直线l的方程为y＝kx＋k＝k，直线恒过点. ∴直线l恒过定点，定点坐标为. 　　探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点． 　1.已知点P是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，|PF1|＋|PF2|＝4. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l不经过点P且与椭圆C相交于A，B两点．若直线PA与直线PB的斜率之和为1，问：直线l是否过定点？证明你的结论． 解　(1)由|PF1|＋|PF2|＝4，得a＝2， 又P在椭圆上， 代入椭圆方程得＋＝1，解得b＝， 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)当直线l的斜率不存在时，设A(x1，y1)，B(x1，－y1)，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝＝1， 解得x1＝－4，不符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，由 整理，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， x1＋x2＝，x1x2＝，Δ＝48(4k2－m2＋3)>0. 由k1＋k2＝1，整理，得(2k－1)x1x2＋(x1＋x2)＋2m－4＝0， 即(m－4k)(2m－2k－3)＝0. 当m＝k＋时，此时，直线l过点P，不符合题意； 当m＝4k时，Δ>0有解，此时l：y＝k(x＋4)过定点(－4,0)． 考向2　逆推法求定点问题 　(2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B两点． (1)求E的方程； (2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝，证明：直线HN过定点． 解　(1)设E的方程为＋＝1， 将A(0，－2)，B两点代入， 得解得a2＝3，b2＝4， 故E的方程为＋＝1. (2)证明：由A(0，－2)，B可得直线AB：y＝x－2. ①若过点P(1，－2)的直线的斜率不存在，直线方程为x＝1. 代入＋＝1，可得M，N，将y＝－代入直线AB：y＝x－2，可得T，由＝，得H. 易求得此时直线HN：y＝x－2，过点(0，－2)． ②若过点P(1，－2)的直线的斜率存在，设为y＝kx－(k＋2)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 联立 得(3k2＋4)x2－6k(k＋2)x＋3k(k＋4)＝0， Δ＝36k2(k＋2)2－12k(k＋4)(3k2＋4)＝96(k2－2k)>0⇒k<0或k>2， 故有 且x1y2＋x2y1＝，(*) 联立可得T，H(3y1＋6－x1，y1)， 可求得此时直线HN： y－y2＝(x－x2)， 将(0，－2)代入，整理得2(x1＋