第二章 第2节 基本不等式-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第二节　基本不等式 课标解读：1.掌握基本不等式≤(a，b>0)，了解其证明过程.2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 考向预测：基本不等式是高考考查的重点，基本不等式具有将“和式”转化为“积式”及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．从近几年高考来看，基本不等式考查的内容、频率、题型难度均变化不大，2024年备考仍以选择题、解答题为主，重点关注利用基本不等式进行大小判断、求最值和求取值范围的问题． 必备知识—强基础 知识梳理 1．基本不等式：≤. (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0． (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤(a，b∈R)． (4)≥(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b． 3．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2． (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2． 注意：(1)利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”，其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件． (2)形如y＝x＋(a>0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解． 1．若a>0，b>0，则≤≤≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件要一致． 3．常见求最值的模型 模型一：mx＋≥2(m>0，n>0，x>0)，当且仅当x＝时，等号成立； 模型二：mx＋＝m(x－a)＋＋ma≥2＋ma(m>0，n>0，x>a)，当且仅当x－a＝时，等号成立； 模型三：＝≤(a>0，c>0，x>0)，当且仅当x＝时，等号成立； 模型四：x(n－mx)＝≤·＝，当且仅当x＝时，等号成立． 4．三个正数的均值不等式：若a，b，c>0，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 诊断自测 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝x＋的最小值是2.(　　) (2)≥2.(　　) (3)已知0<x<，则x(1－2x)的最大值为.(　　) (4)函数f(x)＝sinx＋的最小值为4.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．小题热身 (1)(2023·湖南长沙模拟)函数y＝x＋(x>－2)的最小值为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 答案　D 解析　因为x>－2，所以x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＋2＝，即x＝－1时等号成立．故选D. (2)(2022·宁夏银川二模)下列不等式不恒成立的是(　　) A．≥2 B．a2＋9≥6|a| C．≥ D．a2＋b2≥2ab 答案　C 解析　对于A，因为x＋≤－2或x＋≥2，故A恒成立；对于B，a2＋9≥2＝6|a|，故B恒成立；对于C，当a＝－b≠0时，不等式显然不成立，故C不恒成立；对于D，由于a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，故a2＋b2≥2ab，故D恒成立．故选C. (3)(2023·山东济南模拟)已知a>0，b>0，且＋＝1，则4a＋2b的最小值为________． 答案　6＋4 解析　4a＋2b＝(4a＋2b)＝6＋＋≥6＋2＝6＋4，当且仅当＝，即a＝，b＝1＋时等号成立． (4)某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32 m2的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区(如图所示)．要求试验区四周各空0.5 m，各试验区之间也空0.5 m．则每块试验区的面积的最大值为________ m2. 答案　6 解析　设矩形空地的长为x m，则宽为 m，设试验区的总面积为S m2，所以S＝(x－0.5×4)·＝34－x－≤34－2＝18，当且仅当x＝，即x＝8时等号成立，即每块试验区的面积的最大值为＝6 m2. 考点探究—提素养 考点一　利用基本不等式判断命题的真假 例1　(多选)(2023·湖南衡阳模拟)已知实数a>0，b>0，a＋b＝1，则下列不等式正确的是(　　) A．2a＋2b≥2 B．＋≥4 C．＋≤ D．≤16 答案　ABC 解析　2a＋2b＝2a＋21－a＝2a＋≥2，当且仅当2a＝，即a＝b＝时等号成立，A