第二章 第1节 等式性质与不等式性质-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第一节　等式性质与不等式性质 课标解读：梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质． 考向预测：高考以考查等式性质、不等式性质为重点，与其他知识及实际问题相结合进行命题．以选择题形式单独考查或融合在解答题中，为低档或中档难度.2024年备考特别要重视性质的运用，明确其成立的前提，灵活运用估值法，适当关注与实际问题的结合． 必备知识—强基础 知识梳理 1．等式的性质 (1)对称性：若a＝b，则b＝a. (2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c. (3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c. (4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd. (5)可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a＞b⇔b＜a；a＜b⇔b＞a 可逆 传递性 a＞b，b＞c⇒a＞c； a＜b，b＜c⇒a＜c 同向 可加性 a＞b⇔a＋c＞b＋c 可逆 可乘性 a＞b，c＞0⇒ac＞bc； a＞b，c＜0⇒ac＜bc c的符号 同向可加性 a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d 同向 同向同正可乘性 a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd 同向同正 可乘方性 a＞b＞0，n∈N，n＞2⇒an＞bn 同正 可开方性 a＞b＞0，n∈N，n＞2⇒＞ 同正 3.两个实数比较大小的方法 (1)作差法 ①a－b＞0⇔a＞b； ②a－b＝0⇔a＝b； ③a－b＜0⇔a＜b. (2)作商法 ①＞1(a∈R，b>0)⇔a＞b(a∈R，b＞0)； ②＝1(a∈R，b≠0)⇔a＝b(a∈R，b≠0)； ③＜1(a∈R，b>0)⇔a＜b(a∈R，b＞0)． 1．倒数的几个必备结论 (1)a＞b，ab＞0⇒＜. (2)a＜0＜b⇒＜. (3)a＞b＞0，0＜c＜d⇒＞. (4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜. 2．若a＞b＞0，m＞0，则 (1)＜；＞(b－m＞0)； (2)＞；＜(b－m＞0)． 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a＝b⇔ac＝bc.(　　) (2)若x＞y，则x2＞y2.(　　) (3)若＞，则b＜a.(　　) (4)若a＜b＜0，则＜(n∈N*)．(　　) (5)若a＞b＞c，则(a－b)c＞(b－a)c.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× 2．小题热身 (1)已知a＋b＞0，b＜0，则(　　) A．a＞b＞－b＞－a B．a＞－b＞－a＞b C．a＞－b＞b＞－a D．a＞b＞－a＞－b 答案　C 解析　因为a＋b＞0，b＜0，所以0＜－b＜a，0＞b＞－a，即a＞－b＞b＞－a.故选C. (2)设M＝(x－1)(x－5)，N＝(x－3)2，则M与N的大小关系是(　　) A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．不能确定 答案　A 解析　因为M－N＝(x－1)(x－5)－(x－3)2＝(x2－6x＋5)－(x2－6x＋9)＝－4＜0，所以M＜N.故选A. (3)设a，b，c，d∈R，a＞b，c＜d，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a＋c＞b＋d B．a－c＞b－d C．ac＞bd D．＞ 答案　B 解析　对于A，令a＝1，b＝－1，d＝1，c＝－1，满足a＞b，c＜d，但a＋c＝b＋d，ac＝bd，故A，C错误；对于B，因为a＞b，c＜d，所以由不等式的可加性，可得a＋d＞b＋c，所以a－c＞b－d，故B正确；对于D，令a＝2，b＝－1，d＝－1，c＝－2，满足a＞b，c＜d，但＜，故D错误．故选B. (4)(2023·宁夏银川一中模拟)已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，则2a－b的取值范围为________． 答案　(5，8) 解析　由2＜a＜3，－2＜b＜－1，得4＜2a＜6，1＜－b＜2，则5＜2a－b＜8. 考点探究—提素养 考点一　不等式的性质 例1　(2023·安徽十校一检联考)已知实数a＞b＞c，abc≠0，则下列结论一定正确的是(　　) A．＞ B．ab＞bc C．＜ D．ab＋bc＞ac＋b2 答案　D 解析　由题可知，a≠0，b≠0，c≠0.对于A，若a＞b＞c＞0，则＜，故A错误；对于B，若a＞0＞b＞c，则ab＜bc，故B错误；对于C，若a＞0＞b＞c，则＞，故C错误；对于D，ab＋bc＞ac＋b2⇔ab－ac＞b2－bc⇔a(b－c)＞b(b－c)，因为a＞b，b－c＞0，所以a(b－c)＞b(b－c)，故ab＋bc＞ac＋b2，故D正确． 通性通法 应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 　1．(多选