重难点7-2 立体几何外接球与内切球6大题型-2023年高考数学【热点•重点•难点】专练（新高考专用）

重难点7-2 空间几何体外接球与内切球6大题型 有关多面体外接球和内切球的问题，是立体几何的一个重点和难点，也是高考考查的一个热点，要求学生具有较强的空间想象能力和准确的计算能力。一般在选择题中出现，难度中上。 一、常见几何体的外接球 1、长方体的外接球：长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R， 则 2、正方体的外接球：正方体的棱长为，外接球半径为R，则 长方体的外接球 正方体的外接球 3、直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球形是上下底面三角形外心的连线的中点 4、正棱锥的外接球：正棱锥顶点在底面的投影为底面多边形的外心，球心在高线上。 （1）正三棱锥：设正三棱锥的棱长a，外接球的半径. （2）正四棱锥：设正四棱锥的棱长为，外接球半径 二、能补形为长方体的类型 1、墙角模型 找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出 【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖臑 2、对棱相等 对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，且这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。 三、直棱柱外接球的求法-----汉堡模型 1、补形：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同 2、作图：构造直角三角形，利用勾股定理 例如：直三棱柱内接与一球（棱柱的上下底面为直角三角形） 此类题为上面题的特殊情况，解法更简单，AH的长即为底面三角形斜边的一般， 勾股定理：，则 注意：对于侧棱垂直于的棱锥可考虑补形为直棱柱后再求外接球。 四、侧面垂直与底面---切瓜模型 对于平面⊥平面，（为小圆直径）、 第一步：由图知球心必为的外心，即在大圆面上，先求小圆面直径的长； 第二步：在中，可根据正弦定理，解出 五、棱长即为直径型：两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径 图中两个直角三角形和，其中，求外接圆半径 取斜边的中点，连接，则 所以点即为球心，然后在中解出半径 六、棱锥的内切球 1、方法：一般采用等体积法 2、结论： （1）以三棱锥为例说明：若三棱锥A-BCD的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为. （2）若正四面体的棱长为，则其内切球的半径为. 【注意】三棱锥一定有内切球，但四棱锥及以上不一定有内切球。 【题型1 柱体型几何体的外接球】 【例1】（2023·新疆阿克苏·校考一模）长方体中，棱，且其外接球的体积为，则此长方体体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2022秋·新疆昌吉·高三校考期末）已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（ ） A． B．60 C． D． 【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，球的表面积为，则该圆柱的体积为（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，．设D为的中点，三棱锥的体积为，平面平面，则三棱柱外接球的表面积为______． 【变式1-4】（2022秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，在直四棱柱中，底面是等腰梯形，，若四棱柱的高是3，则该棱柱外接球的体积是______. 【变式1-5】（2022·全国·高三专题练习）已知某圆柱的轴截面是一个正方形，且该圆柱表面积（底面和侧面面积之和）为，其外接球的表面积为，则该圆柱的表面积与其外接球的表面积的比值________. 【题型2 锥体型几何体的外接球】 【例2】（2023·四川凉山·二模）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·贵州·统考模拟预测）已知正三棱雉中，，，该三棱锥的外接球球心到侧面距离为，到底面距离为，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）已知三棱锥，底面，，设和的外接圆半径分别为，．若三棱锥外接球的体积为，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·全国·校联考二模）已知三棱锥的外接球，为球的直径，且，，，那么三棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2023·陕西·校联考模拟预测）在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，平面PAD⊥底面ABCD，，，，，则四棱锥P－ABCD外接球的表面积为（ ） A．26π B．27π