重难点7-1 空间角与空间距离问题8大题型-2023年高考数学【热点•重点•难点】专练（新高考专用）

重难点7-1 空间角与空间距离问题8大题型 空间角与空间距离问题一直是高考数学必考点，在2023年的高考中依旧是命题的热点方向。通常在多选题及解答题的第2小问考查，难度中等。在高考复习过程中除了掌握空间向量法，还需多锻炼几何法的应用。 一、几何法求异面直线夹角 1、求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是， 所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： （1）直接平移法(可利用图中已有的平行线)； （2）中位线平移法； （3）补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)． 二、几何法求直线与平面夹角 1、垂线法求线面角（也称直接法）： （1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； （2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 3、公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长。 三、确定二面角的平面角的方法 1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律 （1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． （2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点， 在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角 2、三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用 （1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角 （2）具体演示：在平面内选一点A向另一个平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。 3、垂面法（空间一点垂面法） （1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 （2）具体演示：过二面角内一点A作于B，作于C， 面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。 4、射影面积法求二面角 方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为， 平面和平面所成的二面角的大小为，则.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。 四、点面距的求解方法 1、定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度； 2、等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离； 3、转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离． 五、向量法求空间角与空间距离 1、异面直线所成角：若分别为直线的方向向量，为直线的夹角， 则. 2、直线与平面所成角：设是直线的方向向量，是平面的法向量，直线与平面的夹角为.则. 3、平面与平面的夹角：若分别为平面的法向量，为平面的夹角， 则. 4、点到平面的距离：已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点,则点到平面的距离为（如图）. 注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 【题型1 几何法求异面直线夹角】 【例1】（2023·全国·模拟预测）如图，圆柱的轴截面为矩形，点，分别在上、下底面圆上，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·陕西·校联考模拟预测）在正方体中，，，分别为，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·甘肃·统考一模）在直三棱柱中，，点分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023春·全国·高三校联考开学考试）如图，四边形ABCD为菱形．，平面ABCD，，，设，连接AC，BD交于点M，连接EM，FM． （1）试问是否存在实数，使得平面AFC？若存在，请