4.6 反证法 同步课件 2022--2023学年浙教版八年级数学下册

第四章 平行四边形 4.6 反证法 1 情境导入 中国古代有一个《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动. 有人问王戎为什么? 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 2 【思考】假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢？ 那么，树上的李子还会这么多吗？ 这与事实矛盾吗？说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？ 所以，李子是苦的. 获取新知 3 王戎的推理方法是: 提出假设 推理论证 得出矛盾 结论成立 4 在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义、基本事实、定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法. 5 利用反证法证明的一般步骤 (1)提出假设; (2)推理论证(从假设出发利用已学知识进行推理); (3)得出矛盾(得出与已知条件或定义、基本事实、定理等矛盾); (4)写出结论(肯定原命题成立). 6 [注意] “至多存在n个”的反面为“至少存在(n+1)个”; “至少存在n个”的反面为“至多存在(n-1)个”. 7 求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. (1)你首先会选择哪一种证明方法? (2)如果选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾? 8 已知:如图，l1∥l2 ,l2 ∥l3. 求证：l１∥l３. l２ l１ l３ ∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点P就有两条直线l１， l３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线”矛盾． 证明：假设l１不平行于l３，则l１与l３相交,设交点为P. P 所以假设不成立，所求证的结论成立， 即 l１∥l３. 9 【例】求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角． 已知：四边形ABCD. 求证：四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角． 10 证明：假设四边形ABCD中没有一个角是钝角或直角， 即∠A<90 °，∠B＜90 °，∠ C<90 °，∠ D<90 ° ， 于是∠ A＋ ∠ B+ ∠ C＋ ∠ D<360 °. 这与“四边形的内角和为360 °”矛盾， 所以四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角． 11 证明真命题的方法 直接证明 间接证明 步骤：（1）假设待证命题不成立；（2）从假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾或者与定义、基本事实、定理等矛盾；（3）得出假设是错误的，,即所求证的命题正确 反证法 当直接证明比较繁杂或较难证明时 12 随堂演练 1.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中 (　　) A.有一个内角大于60° B.有一个内角小于60° C.每一个内角都大于60° D.每一个内角都小于60° C 2.已知:如图4-6-1,直线a,b被直线c所截,∠1,∠2是同位角,且∠1≠∠2. 图4-6-1 求证:a不平行于b. 证明:假设　　　　　, 则∠1=∠2(　　　　　　　 ), 这与　　　　相矛盾,所以假设不成立,所以a不平行于b. a平行于b 两直线平行,同位角相等 ∠1≠∠2 14 3.求证:在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45°. 证明:假设在直角三角形中两个锐角都大于45°,则两锐角的和大于90°,这与直角三角形两个锐角互余相矛盾,故在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45°. $