专题4.15 三角形的中位线（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）

专题 4.15 三角形的中位线（知识讲解） 【学习目标】 1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理； 2. 运用三角形中位线与第三边的位置关系、数量关系解决问题； 3. 理解并掌握三角形中位线定理的拓展结论。 【要点梳理】 要点一、三角形的中位线 1．定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 特别说明： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 要点二、中点三角形 定义：中点三角形就是把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形. 性质： （1）这个新三角形的各个边长分别是原来三角形三边长的一半且分别平行，角的度数与原三角形分别相等，4个三角形都全等 （2）中点三角形周长是原三角形的周长一半。 （3）中点三角形面积是原三角形面积的四分之一。 补充：中点三角形与原三角形不仅相似，而且位似。 要点三、中点四边形 定义：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。中点四边形的形状与原四边形的对角线的数量和位置关系有关。 性质（1）不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。（此内容主要在学习特殊四边形后运用较广） 【典型例题】 类型一、三角形的中位线➽➼定理的理解 1．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若DE=4，则BC等于（     ） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理计算即可． 解：∵D、E分别是AB、AC边上的中点，DE=4， ∴BC=2DE=2×4=8， 故选：C． 【点拨】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 举一反三： 【变式1】如图，在中，若，，则下列线段是的中位线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形中位线的定义分析即可． 解：∵，， ∴为的中点，为的中点， ∴为的中位线． 故选：A． 【点拨】本题考查三角形中位线和中点的定义．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．熟练掌握三角形中位线的相关知识是解题的关键． 【变式2】如图，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，线段EF的长（　　） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．不能确定 【答案】C 【分析】因为R不动，所以AR不变．根据三角形中位线定理可得EF＝AR，因此线段EF的长不变． 解：连接AR． ∵E、F分别是AP、RP的中点， ∴EF为△APR的中位线， ∴EF＝AR， ∵AR的长为定值， ∴线段EF的长不改变． 故选：C． 【点拨】本题考查了三角形的中位线定理，正确作出辅助线，得到EF为△APR的中位线是解决问题的关键． 类型二、三角形的中位线➽➼求线段✬✬求角度✬✬证明 2．如图，在中，，，分别是，的中点，连接，过点作EFCD，交的延长线于点． (1) 求证：四边形是平行四边形； (2) 若四边形的周长是，的长为，求线段、的长． 【答案】(1) 见分析 (2) 【分析】（1）利用三角形的中位线证明，从而可得结论； （2）利用三角形的中位线的性质先求解EC， 再利用勾股定理求解DE，可得BC，再利用勾股定理可得答案． (1)证明：，分别是，的中点， 是的中位线， ， 又， 四边形是平行四边形； (2)解：是的中点， ， 四边形的周长是， ， ， ， 在中，由勾股定理，， ， ， 又是的中位线， ， ． 【点拨】本题考查的是平行四边形的判定与性质，三角形的中位线的性质，勾股定理的应用，熟练的应用平行四边形的性质解决问题是关键． 举一反三： 【变式1】如图，点F是的边AC的中点，点D在AB上，连接DF并延长至点E，使，连接CE． (1) 求证：； (2) 若，，求BC的长． 【答案】(1) 见详解 (2) 4 【分析】（1）根据题干条件即可求证； （2）根据平行线的性质、中位线的性质即可求解； 解：(1)证明：∵F是的边AC的中点 ∴ 在和中 ∵ ∴ (2)∵， ∴ ∵F是的边AC的中点， ∴ 【点拨】本题主要考查三角形的全等证明、平行线的性质、中位线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 【变式2】如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝BA＝13． (1) 尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作∠ABC的角平分线交AD于点E； ②作线段DC的垂直平分线交DC于