2023中考数学一轮复习 相似三角形判定性质及应用

中考数学复习 相似三角形判定、性质及应用 · 知识点汇总 一、相似三角形的判定方法 ①定义：各角对应相等，各边对应成比例． ②平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． ③有两个角对应相等 ④两边对应成比例，且夹角相等 ⑤三边对应成比例． 二、相似三角形基本图形 1、8字型 有一组隐含的等角(对顶角)，此时需从已知条件或图中隐含条件通过证明得另一对角相等 (AB、CD不平行，∠A＝∠C) (AB∥CD) 2.A字型 有一个公共角(图①、图②)或角有公共部分(图③，∠DAF＋∠BAD＝∠DAF＋∠EAF)，此时需要找另一对角相等或相等角的两边对应成比例 3.双垂直型 有一个公共角及一个直角 (图①为母子型的特殊形式AC2＝AD·AB仍成立，另CD2＝AD·BD) 4.三垂直型 结论推导，如图①，∠D＋∠DBA＝∠E＋∠EBC＝∠DBA＋∠EBC＝90°，∴∠EBC＝∠D，∠E＝∠DBA，且一组直角相等，用任意两组等角即可证得三角形相似 三、相似三角形的性质 ①对应角 ，对应边 ． ②周长之比等于 ；面积之比等于 ． ③对应高线长之比、对应角平分线长之比、对应中线长之比都等于 ． 四、相似多边形 1.判定方法：各角对应 ，各边对应 ． 2.性质： ①对应角 ，对应边 ． ②周长之比等于 ；面积之比等于 ． 五、图形的位似 1．位似图形的概念 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心. 这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比。 2.性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 3.当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为（），位似图形与原图形的位似比为，则位似图形上的对应点的坐标为或 · 课堂训练 1. 如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝6，AC＝8，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 2. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A．B．C． D． 3. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为3cm，4.5cm和6m，另一个三角形的最长边长为12cm，则它的最短边长为（　　） A．6cm B．9cm C．16cm D．24cm 4. 学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（　　） A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m 5. 如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（　　） A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b 6. 如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2.5，5），B（5，0）：以原点为位似中心，将线段AB缩小得到线段CD，若点D的坐标为（2.0），则点C的坐标为（　　） A．（1，2） B．（1，2.5） C．（1.25，2.5） D．（1.5，3） 7. 如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE＝4，则BC的长 8. 如图，已知△ABC∽△ADB，若AD＝2，CD＝2，则AB的长为　 　 9. 如图，小东用长2米的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆的高度AB，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，OD＝3米，DB＝9米，则旗杆AB的高为　　 米． 10. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）． （1）△ABC外接圆圆心的坐标为　 　，半径是　 ； （2）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，位似中心M的坐标是　 　，△ABC与△DEF位似比为　 11. 在正方形ABCD中，P是BC上一点，且BP＝3PC，Q是CD的中点． （1）求证：△ADQ∽△QCP； （2）若PQ＝3，求AP的长． · 技巧专练 1. 如图，△ABC中，点D是AB的中点，点E是AC边上的动点，若△ADE与△ABC相似，则下列结论一定成立的是（　　） A．点