河南省郑州市2023届高三二模数学理科试题

郑州市2023年高中毕业年级第二次质量预测 理科数学试题卷 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数（，，为虚数单位），且，则复数在复平面内对应点所在的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知向量，满足，，且与的夹角为，则（ ） A．12 B．4 C．3 D．1 4．世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（ ） A． B． C． D． 5．已知曲线在点处的切线方程为，则（ ） A． B． C． D．0 6．如图，网格纸上绘制的是一个几何体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D．4 7．已知在非中，，，且，则的面积为（ ） A．1 B． C．2 D．3 8．和是数学上两个神奇的无理数．产生于圆周，在数学中无处不在，时至今日，科学家借助于超级计算机依然进行的计算．而当涉及到增长时，就会出现，无论是人口、经济还是其它的自然数量，它们的增长总是不可避免地涉及到．已知，，，，则，，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 9．将函数图象上的点向右平移个周期得到点，若位于函数的图象上，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 10．双曲线的一条渐近线与圆：交于第一象限的一点，记双曲线的右焦点为，左顶点为，则的值为（ ） A．0 B．4 C．7 D．12 11．已知正项数列的前项和为，且，，则（ ） A． B． C． D． 12．已知椭圆的上顶点为，斜率为的直线交椭圆于，两点，若的重心恰好为椭圆的右焦点，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．记为等差数列的前项和．已知，，则数列的通项公式为__________． 14．某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有__________种． 15．已知三棱锥的各个顶点都在球的表面上，，，，平面平面，若点满足，过点作球的截面，则所得截面面积的取值范围为__________． 16．关于函数，，有如下4个结论： ①在上单调递增； ②有三个零点； ③有两个极值点； ④有最大值． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分 17．（本小题满分12分） 在中，角，，的对边分别为，，，若． （Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若，求的值以及． 18．（本小题满分12分） 如图，在四边形中，为边长为的正三角形，，将沿翻折，使点到达的位置，若平面平面，且． （Ⅰ）求线段的长； （Ⅱ）设在线段上，且满足，求二面角的余弦值． 19．（本小题满分12分） 商品流通费用率，又称为流通费用水平，是商品流通费用总额（商品在流通过程所耗费劳动与费用总和）对商品销售额的百分比。一定时期内，在实现的销售额一定的情况下，支出的费用越少，表明费用节约程度越高，体现为经济效益就越好。某企业收集了10个营业点的商品销售额（万元）与商品流通费用率（%）的有关数据，制作成散点图如图所示： （Ⅰ）从这10个营业点中随机抽取3个，求至少抽到一个商品流通费用率不高于6%的营业点的概率； （Ⅱ）为了研究与的相关关系，有四名同学通过计算得到与的相关系数分别为0.97，0.62，，，请你从中选出最有可能正确的结果，并以此求出关于的线性回归方程． 参考数据：，，，． 参考公式：相关系数， 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 20．（本小题满分12分） 已知抛物线，为坐标原点，焦点在直线上． （Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）过点作动直线与抛物线交于，两点，直线，分别与圆交于点，两点（异于点），设直线，斜率分别为，． ①求证：为定值； ②求证：直线恒过定点． 21．（本小题满分12分） 已知函数． （Ⅰ）当，求