专题05 特殊三角形的存在性问题-2023年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练 （上海地区专用）

专题05 特殊三角形的存在性问题 目录 最新模考题热点题型归纳 【题型一】 以圆为背景的特殊三角形的存在性 【题型二】 以几何图形为背景特殊三角形的存在性 【题型一】 以圆为背景的特殊三角形的存在性 【典例分析】 （2022•金山区二模）如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin∠BAC＝，O是边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径的圆O与边AC的另一个交点是点D，与边AB的另一个交点是点E，过点O作AB的平行线与圆O相交于点P，与BC相交于点Q，DP的延长线交AB于点F，联结FQ． （1）求证：DP＝EP； （2）设OA＝x，△FPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （3）如果△FPQ是以FQ为腰的等腰三角形，求AO的长． 【提分秘籍】 圆中的分类讨论问题(三角形的存在性) 以圆为背景的分类讨论问题主要涵盖三角形的存在性(等腰、直角、相似三角形的存在性)、点在线段或其延长线上或梯形的存在性等。本节主要围绕三角形的存在性进行分类讨论。 【变式演练】 1．（2022•崇明区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝30°，AB＝10．点E是线段AB上一动点，点G在BC的延长线上，且CG＝AE，联结EG，以线段EG为对角线作正方形EDGF，边ED交AC边于点M，线段EG交AC边于点N，边EF交BC边于点P． （1）求证：NG＝2EN； （2）设AE＝x，△AEN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域； （3）联结NP，当△EPN是直角三角形时，求AE的值． 2．（2022•宝山区二模）如图，已知AB为圆O的直径，C是弧AB上一点，联结BC，过点O作OD⊥BC，垂足为点E，联结AD交BC于点F． （1）求证：＝； （2）如果AF•AD＝AO2，求∠ABC的正弦值； （3）联结OF，如果△AOF为直角三角形，求的值． 【题型二】以几何图形为背景的特殊三角形的存在性 【典例分析】 （2023青浦区一模）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝5，M在边CD上，连接BM，BM⊥DC． （1）求CD的长； （2）如图2，作∠EMF＝90°，ME交AB于点E，MF交BC于点F，若AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）若△MCF是等腰三角形，求AE的值． 【提分秘籍】 处理相似三角形存在性问题时，一般可遵循以下思路：   第一步：确定对应关系 对于需要讨论的两个三角形，常常可以从发现一组同角（等角）入手，继而进一步挖掘条件或分类讨论，确定对应关系.   第二步：解得未知量   ①代数方法：通过对应关系列出比例式，用未知数和常数表示比例式中的每条边，通过列方程求解.根据定理“两边对应成比例且夹角相等，则两个三角形相似”，围绕着已证明等角的夹边列比例式比较简单.如图1：若△ABC∽△DEF，且满足∠A=∠D， 此时从边的角度进行分类，则有AB:AC=DE:DF或AB:AC=DF:DE.    ②几何方法：通过对应关系确定对应角，通过角之间的等量关系发现新的等腰或相似三角形，建立数量关系，从而得以求解。如图1：若△ABC∽△DEF，此时从角的角度进行分类，则有∠B=∠E或∠B=∠F. 等腰三角形的存在性问题     处理等腰三角形存在性问题时，一般可遵循以下思路：   第一步：确定问题解决的方法   ①当已知三角形不便于讨论（即边或角难以用字母参数表示）时，可以寻找与已知三角形相似的目标三角形（这个目标三角形有一条定边长的边和一个确定三角比的锐角）进行分类讨论.   ②当目标三角便于讨论时，可以充分结合等腰三角形的性质定理和判定定理进行讨论：   如图(a)所示，若△ABC为等腰三角形，AB=AC，则∠B=∠C；若△ABC为等腰三角形，∠B=∠C，则AB=AC；过顶点A作AD⊥BC，垂足为点D，则有AD平分∠BAC，BC=2CD，同时根据腰、底以及底角的余弦，可以得到如下的数量关系： 第二步：确定等腰三角形讨论问题的一般解题步骤 第三步：对于不可能情况的排除   ①可以借助图形特点或者边角的相关性质排除一些不可能的情况。 如图(c)：AB=AC，D为边AC上一动点，不与A、C重合.若△BCD为等腰三角形，则排除BD=CD的情况，由∠ABC=∠C>∠BDC，此时D与A重合，不合题意；   ②当该三角形是直角三角形或钝角三角形时，只有一种情况，不需要分类讨论，如图(d)，此时有且仅有AF=EF这一种情况；   ③对于动点问题，需要讨论点在线段或其延长线上的情况，即先对动点分类讨论，再对等腰三角形的存在性分类讨论. 直角三角形的存在性问题 处理直角三角形存在性问题时，一般可遵循以下思路：   第一步：分类讨论 若△A