考点17 二次函数（讲义）-决战2023年中考数学专题考点（全国）

考点17 二次函数 【夯实基础】 1．二次函数的一般形式是＿＿＿＿＿，图像是一条＿＿＿＿＿。 2．当a＞0时，抛物线开口＿＿，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大。 当＿＿时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴 的右侧y随x的增大而减小。 3．二次函数的图像的对称轴是＿＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿＿。 4．求二次函数的最大值或最小值问题：可以将解析式配成＿＿＿＿＿＿＿＿＿的形式求得，也可以借助图像观察。 5．二次函数的图像(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一元二次方程的两个实数根。 【走进考点】 一．二次函数的概念、图像和性质 【解题关键】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数的对称性． 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） ①a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口； |a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②b和a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时，对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时，对称轴在y轴右侧． ③c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点； △=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 二．二次函数表达式的确定 【解题关键】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 二次函数解析式的三种常见形式： ①已知抛物线上三点时，常选择一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②已知抛物线的顶点或对称轴时，常设顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③已知抛物线与x轴有两个交点时，可设为交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0），抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 三．二次函数与一元二次方程、不等式的关系 【解题关键】本题考查了二次函数与不等式的关系，关键是利用数形结合的思想，把不等式解集转化为图像的交点问题． 1、求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． 2、二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系． △=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点； △=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 3、二次函数的交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 四．二次函数的应用 【解题关键】本题考查二次函数的应用，把抛物线解析式化为顶点式，根据函数的性质求解是解题的关键． 1、利用二次函数解决销售利润问题 商品销售中求最大利润、最大销量等问题，关键是通过题意，确定二次函数的解析式，然后确定最大值，注意自变量x的取值要使实际问题有意义． 2、几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． 3、构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决实际问题时，要把实际问题中的数据落实到抛物线上，从而确定函数解析式，再通过解析式解决相关问题． 【真题实例】 一．二次函数的概念、图像和性质 1.（2022•绵阳）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图像关于直线x＝1对称，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点．若﹣2＜x1＜﹣1，则下列四个结论：①3＜x2＜4；②3a+2b＞0；③b2＞a+c+4ac；④a＞c＞b，正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.（2022•兰州）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（　　） A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2 3．（2022•鹿城区校级三模）已知二次函数y＝x2﹣4x﹣1，当1＜x≤5时，对应的函数值y不可能是（　　） A．﹣5 B．﹣4 C．4 D．5 4．（2022•仓山区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： x … ﹣4 ﹣3 0 1 3 … y … m 0 ﹣3 0 12 … 若（x1，y1），（x