专题04 幂指对函数-【多选题抢分攻略】冲刺2023年高考数学·多选题高频考点精讲精练（新高考通用）

【多选题抢分攻略】冲刺2023年高考数学·多选题高频考点精讲精练（新高考通用） 专题04 幂指对函数（重要考点） 目录一览 一、典例分析 二、考点梳理 三、专项突破训练 （1）幂指对函数的图像与性质（★） （2）指对数的相关运算（★★★） （3）比较大小问题（★★★★） Ⅰ 利用中间值 Ⅱ 构造函数 四、答案速览 一、典例分析 【典例1】下列说法正确的有（    ） A．若函数的图象经过点，则函数是偶函数 B．函数为奇函数 C．函数（且）的图象恒过定点 D．函数的递减区间是 【典例2】若，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例3】已知,则（    ） A． B． C． D． 【典例4】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例详解】 【典例1】【分析】A.先求得幂函数，再利用奇偶性的定义判断；B.利用奇偶性的定义判断；C. 令求解判断；D.画出其图象判断. 【详解】解：A.因为函数的图象经过点， 所以，解得，所以，则其定义域为， 因为，所以函数是偶函数，故正确； B.函数的定义域为R，又函数，所以为奇函数，故正确； C.令，得，此时，所以（且）的图象恒过定点，故正确； D.函数，其图象如图所示（判断出函数是偶函数，画的一边，另一边用对称性画出来即可！） ，由图象知：其递减区间是，故错误；故选：ABC. 【典例2】【分析】求出，则由对数的计算公式可判断A；求出可判断B；要判断，即判断，因为可判断C；由均值不等式可判断D. 【详解】由题意可得出，，（利用指对数的互化） 所以，故A正确； ，（基本不等式的应用）故D正确 ，所以，故B不正确； 要判断，即判断，因为 所以，故C不正确；故选：AD. 解题小策略之假设法：在多项选择题中，我们可以假设该选项正确，经过分析得出一个与选项相悖的结论，从而排除该选项。本题C选项即是如此。 排除法应用：在多项选择题中，尤其是当你确定其中两个选项为错误时，则另外两个肯定是正确答案。本题AD正确，故BC必然错误！ 【典例3】【分析】结合对数函数的单调性可判断的大小范围,结合的单调性可判断的取值范围,从而可判断选项A,B,C的正误;通过比较的大小,可判断出,即可判断选项D的正误. 【详解】解:因为在单调递增,所以,即, 因为在单调递增, 所以,,（利用中间值0，1比较大小） 综上:,故选项B错误,选项A、C正确; 因为,且, 即,所以,故选项D正确.故选:ACD 【典例4】【分析】考虑类似于的函数形式，因此构造函数，运用函数的单调性求解. 【详解】（观察题干形式，构造函数）设，则，令，则是减函数， 又，当时，，当时是减函数①， ，即，， 考察 （作商比较大小，观察构造函数）构造函数 ， ，由①及一次函数性质知，是减函数， ，即，，.故选：AB. 二、考点梳理 1.幂函数的定义 一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，指数为常数的函数称为幂函数. 2.常见的幂函数图像及性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 3.指数的运算 (1)有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 4.指数函数 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 5.对数的运算 (1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； (3) 对数的性质和运算法则： ①；；其中且；②(其中且，)； ③对数换底公式：；④； ⑤；⑥，； ⑦和； ⑧； 6.对数函数 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 三、专项突破训练 题型一：幂指对函数的图像与性质 1．（2023春·河南新乡·校考开学考试）下到说法正确的是（    ）. A．若函数的定义域为，则函数的