2019年上海交通大学自主招生数学试卷

2019 年上海交通大学自主招生数学试卷 一、综合题（本大题共 18 小题） 1、已知� � = �sin  � + �3 � + 4，且� lg  log310 = 5，求� lg  lg  3 ． 2、已知 0 < � < 1，0 < � < �4，若� = sin � log�sin  �，� = cos � log�tan  �，� = (sin  �)log�tan  �，试比较�，�，�的大小． 3、已知方程�4 + �� − 4 = 0各个实根为�1，�2，⋯，�� �⩽4 ，若点 ��, 4 �� ，� = 1，2，⋯，�均 在直线� = �同侧，求�的取值范围． 4、已知复数�满足 � = 1，且�2 − 2�� + �2 − � = 0，求负实数�的值． 5、若方程�3 − 3�2 + �+2 � −� = 0的三个根可以作为三角形的三边长，求�的范围． 6、对于�，� ∈ �+，若( 3 + i)� = (1 − i)�，求� −�的最小值． 7、已知数列 �� 满足：�1 = 3 3，�� = ��−1 3 3，若�� ∈ �，求�的最小值． 8、设 � − 2 2019 展开式中�奇次幂的项的和为� � ，求� 2 ． 9、已知�，�，�不全为 0，求 ��+2���2+�2+�2最大值． 10、已知△���的面积为 2，�在线段��上，�在线段��上，�在线段��上，且满足���� = �， �� �� = �，���� = �，若� + � − � = 1，求△���的面积的最大值． 11、对定义域内任意的�，�，若满足� �+� 2 ⩽ � � +� � 2 ，则称� � 为凸函数，下列函数是凸函数的 是（ ）． A. � � = 2� B. � � = �3 C. � � = log2� D. � � = �, � < 02�, � > 0 12、已知复数�1，�2所对应的点为�，�，若 �1 = 4，且满足 4�12 − 2�1�2 + �22 = 0，求△���的 面积． 13、实数�，�满足 4�2 − 5�� + 4�2 = 19，求�2 + �2最大值． 14、在△ ���中，满足� + � = 3�，求 tan  � 2 tan  � 2 ． 15、数列��是7�的末两位数，求�1 + �2 +⋯+ �2019． 16、�为△���的外心，�到三边�，�，�的距离分别为�，�，�，则( ) A. �:�: � = �: �: � B. �:�: � = 1 � : 1 � : 1 � C. �:�: � = sin  �: sin  �: sin  � D. �:�: � = cos  �: cos  �: cos  � 17、定义平面上两点 �, � ， �, � 的折线距离为� = �− � + � − � ，若平面上一点�到 −1,2 ， 3,1 ， 3,5 ， −2,4 ， 4,4 ， 6,6 的折线距离之和最小，则�点坐标 为 ． 18、已知� = �, � �⩾�2 ，� = �, � �2 + � − � 2⩽1 ，则� ∩ � = �的充要条件是( ) A. � = 5 4 B. �⩾ 5 4 C. �⩾1 D. 0 < � < 1 1 、【答案】 3． ; 【解析】 2 、【答案】 � < � < � ; 【解析】 解：易知当 0 < � < 1，0 < � < � 4时， log�sin  � > log�tan  � > 0， 则� < � < �． 3 、【答案】 � > 6或� <− 6 ; 【解析】 因为�4 + �� − 4 = 0，则 �3 + � = 4�， 而函数� = �与� � = 4 � 相交于 −2, − 2 和 2,2 两点，则易知 � > 6或� <− 6． 4 、【答案】 � = 1− 5 2 ; 【解析】 解：设� = cos  � + isin  �，因为�2 − 2�� + �2 − � = 0，则 cos  � − � 2 − sin2� = �， cos  � − � sin  � = 0， 情形一：当 cos  � = �时，则 sin2� =− � cos  � = �， 解得� = 1− 5 2 ， 情形二：当 sin  � = 0时，则 1 − � 2 = �或 1 + � 2 = �， 因为� < 0，所以此时�无解， 综上所述：� = 1− 5 2 ． 5 、【答案】 34 < � < 1 ; 【解析】 解：因为�3 − 3�2 + �+2 � −� = 0，则 � − 1 �2 − 2� +� = 0，令 �1 = 1，�2 + �3 = 2，�2�3 = �， 且 Δ = 4 − 4� > 0 � > 0