北京大学2021年自主招生数学试卷(优秀中学生暑期学堂）

2021 北京大学数学试卷（优秀中学生暑期学堂） 一、综合题（本大题共 20 小题） 1、函数�(�) = 3�ln  � + �3 − �� + 5 在(0, + ∞)上非负，则�的最大值 为 ． 2、平面内有定圆�和动圆Γ，动圆Γ与定圆�内切且恒过�内不为圆心的一定点，则Γ的圆心轨迹 为 ． 3、已知 2� − 5�⩽− 6 3� + 6�⩽25 ，则 9� + �的最大值为 ． 4、已知 0 < � < � < �2，且满足 sin  cos � = �，cos  sin � = �，则有序数对(�, �)的组数 为 ． 5、已知�2 +4�2 = 1，则 � + 2� � − � 的最小值为 ． 6、若 4�2 + 2�� + �2 − 2�� − �� + 2⩾0 对任意的�, � ∈ �恒成立，则�的最大值 为 ． 7、已知复数�1，�2，⋯，�2021是方程�2021 = 1 的 2021 个相异根，则 �=1 2021 1 i+xj = ． 8、在数列 �� 中，已知�1 = 1，�2 = 2，�3 = 3，且当�⩾3 时，有��+1 = �=1 � �� − 1 ．记�� = �=1 � ��2 − �=1 � �� ，则�2021的值为 ． 9、和式 i=1 999999 i2021 的计算结果最后三位数字为 ． 10、实数 50 × (7 + 4 3)2021的十进制小数表示中个位数字与十位数字之和 为 ． 11、设� ∈ �，方程�3 + �� + 8i = 0 的三个根在复平面构成一个等边三角形的三个顶点，则该等 边三角形的面积为 ． 12、已知(2�+1) 4042 (�+1)2021 = �=0 2021���� + 1 (�+1)2021 �=0 2020 ���� 对任意的实数�均成立，则 �2020 = ． 13、已知�，�，�，�满足方程 1 + 2 + 3 + 6 � + 2� + 3� + 6� = 2021， 则有理数对 �, �, �, � 的对数为 ． 14、我们用 � 表示实数�的整数部分，用 � 表示实数�的小数部分，则关于�的不等式 1 − �2 + 1 + � ⋅ �2 − 1 + � < 10−6的最小整数解为 ． 15、已知�，�，�为三角形三边长，则 ��+��+��(�+�+�)2的取值范围为 ． 16、设 12021有�种方式分为 3 个正整数的倒数之和，有�种方式分为 3 个正奇数的倒数之和，则 （ ）． A. � = � = 1 B. �⩽6，�⩾1 C. � = 3，� = 1 D. 以上均不正确 17、已知�，� ∈ 0, � 2 ，� + � + � = �，且满足 sin  � = �sin  �，则�与�的大小关系 为 ． 18、方程 � + � = 2 + � + �的整数解的组数为 ． 19、已知实数�，�满足 4�3 − 3� 2 + 4�3 − 3� 2 = 1，则� + �的最大值 为 ． 20、集合{1,2,⋯, 2021}的非空子集中元素和为 3 的倍数的集合个数 为 ． 1、【答案】 6; 【解析】 由题�(�) = 3�ln  � + �3 − �� + 5⩾0，即�⩽3ln  � + �2 + 5�恒成立．从而我们只需求 函数�(�) = 3ln  � + �2 + 5 � 的最小值． 注意到�′(�) = 2� 3+3�−5 �2 = (�−1)(2�2+2�+5) �2 ， 且 2�2 + 2� + 5 > 0，故�(�)在� = 1 处取最小值， 从而�⩽�(�)��� = �(1) = 6， 从而�的最大值为 6． 2、【答案】 椭圆; 【解析】 不妨设定圆圆心为�，半径为�， 动圆圆心为�′，半径为�， 定点记为�，切点为�． 如图所示， 我们有�′� + �′� = �′� +�′� = � > ��， 这说明�′点到两定点�与�的距离之和为定值�， 且大于两定点之间的距离， 因此Γ的圆心�′的轨迹为椭圆． 3、【答案】 86927 ; 【解析】 注意到 27(9� + �) = 47(3� + 6�) + 51(2� − 5�)⩽47 × 25+ 51 × ( − 6) = 869， 即 9� + �⩽ 869 27 ， 当且仅当� = 89 27 ，� = 68 27 时，等号成立． 故 9� + �的最大值为86927． 4、【答案】 1; 【解析】 解令�1 = �，�2 = �，由题可知 0 < �1 < �2 < 1， 且 cos  �1 = arcsin  �1 sin  �2 = arccos  �2 . 利用函数与其反函数的图像关于直线� = �对称，我们做出� = sin  �，