备战2023年中考：2023年安徽省合肥四十二中中考数学一模试卷重点试题讲解

2023年安徽省合肥四十二中中考数学一模试卷重点试题讲解 东方岳（2023.04.04） 1.（四十二中一模-8）二次函数y=x2-2的图象经过点（a，b），则代数式b2+6a2的最小值是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 简解：方法一：∵y=x2-2的过点（a，b） ∴b= a2-2 ∴b2+6a2= (a2-2)2+6a2=(a2+1)2+3 又，a2≥0 ∴a2=0时，b2+6a2有最小值为4 故，选C 方法二：∵y=x2-2的过点（a，b） ∴b= a2-2 ∴b2+6a2= b2+6(b+2)2=(b+3)2+3 又，a2=b+2 ∴b≥-2 因此，b=-2时，b2+6a2有最小值为4 故，选C 2.（四十二中一模-10）如图，Rt△ABC中，∠C=90°且AB=10，点P为△ABC的内心，点O为AB边中点，将BO绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接DP，则DP长的最小值为（ ） A．5-5 B. C.、3-3 D.5- 简解：如图，∠APB=90°+∠C=135° ∴点P在以点E为圆心，以AB长为半径的圆上 作EF⊥BD于F，则EF=5，DF=10 解△DEF得，DE=5 连接EP，则EP=AB=5 ∴PD≥DE-PE=5-5 故，选A. 3.（四十二中一模-14）已知二次函数y=x2-(a+1)x+3. （1）当a=2时，二次函数的最小值为_________； （2）当-1≤x≤2时，二次函数y=x2-(a+1)x+3的最小值为1，则a=_______. 简解：（1）当a=2时，y=x2-3x+3=(x-)2+ 故，当x=时，函数有最小值为 （2）y=x2-(a+1)x+3=(x-)2-+3 1）当<-1，即，a<-3 x=-1时，有最小值为1，即1+a+1+3=1，解得a=-4 2）当-1≤≤2，即-3≤a≤3 x=时，有最小值为1，即-+3=1 解得，a1=-1+2，a2=-1-2（舍去） 3）当>2时，即a>3 x=2时，有最小值为1，即4-2a-2+3=1，解得，a=2（舍去） 综上，当a=-4或2-1时，函数有最小值为1. 4.（四十二中一模-16）观察下列各式： ①，②，③，④ ……，……； 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：____________________； （2）写出你猜想的第n个等式：________________________（用含n的等式表示），并证明. 简解：（1）； （2） 证明：左边= = =2 右边=2 ∴左边=右边，故猜想的第n个式子成立. 5.（四十二中一模-19）如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点.AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F. （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若AB=10，AC=6，求CE的值. （1）简证：如图，连接OD， ∵AD平分∠CAB ∴∠CAD=∠OAD 又，OA=OD ∴∠OAD=∠ODA ∴∠CAD=∠ODA ∴OD//AE 又，EF⊥AE ∴EF⊥OD 故，∠ODF=90°且点D在⊙O上 ∴EF是⊙O的切线 （2）如图，连接BC交OD于G， 则，四边形CGDE为矩形 又，AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=90° 由（1）知，∠EDG=90° ∴四边形CGDE为矩形 ∴CE=DG 又，OG=CA=3 ∴CE=DG=OD-OG=2 6.（四十二中一模-23） （1）【初步尝试】 如图1，正方形ABCD中，点E，F分别为AB，AD边上的点，且DE⊥CF，求证：DE=CF. 图1 （2）【思考探究】 如图2，矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点E为BC中点，点F为AE上一点，连接CF，DF，且CF=CD，求DF的值. 图2 （3）【拓展应用】 如图3，四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ABC=45°，BC=AB，点E，F分别在线段AB，AD上，且CE⊥BF，直接写出的值. （1）简证：如图，∵四边形ABCD为正方形 ∴AD=DC，∠A=∠CDF ∴∠DCF+∠DFC=90° 又，DE⊥CF ∴∠ADE+∠DFC=90° ∴∠CDF=∠ADE ∴△DCF≌△ADE（ASA） ∴DE=CF （2）简解：如图，延长AE交DC的延长线于G，则△ABE≌△GCE ∴CF=CD=AB=CG ∴∠DFG=90° 解△ADG得，AG=2 ∴DF== （3）简解：如图，∵BC=AB，∴可令AB=3a，则BC=a 作CH⊥AB于H，则BH=CH=a 又，△CEH∽△BFA，∴ 学科网（北京）股份有限公司 $