第03讲：导数中的极值问题-冲刺2023年高考数学压轴题——导数专题全面复习讲义

第三讲：导数中的极值问题 考点1：求函数极值或已知极值求参 求函数的单调性，并利用单调性，求解函数的极值，并求解参数. 考点2：极值点及极值点个数求参 通过求导，将极值点个数转化为导函数变号零点个数，进行函数零点个数的求解 考点3：极大值点或极小值点求参 （1）若函数在处取得极大值，则且. （2）若函数在处取得极小值，则且. 考点4：双极值和单极值范围求解 将极值点表达出来，并转化为唯一的变量，进行求解 考点5：极值点偏移 利用函数的对称性，构造函数或利用对数均值不等式：进行求解 题型目录： 题型一：求极值 题型二：已知极值求参 题型三：已知极值个数求参 题型四：已知极值范围求参 题型五：已知极值点求参范围 题型六：区间存在极大值点或极小值点 题型七：双极值范围 题型八：双极值证明 题型九：单极值范围 题型十：极值点偏移 题型一：求极值 例题1．已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于直线 (1)求的值. (2)求函数的单调区间与极值； 变式训练1．已知函数． (1)求的单调区间； (2)求的极值． 变式训练2．已知函数，满足． (1)求实数的值； (2)求的极值． 变式训练3．已知函数，为的导函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值． 题型二：已知极值求参 例题1．已知函数. (1)已知时函数的极值为3，求和的值； 变式训练1．已知在时有极值0；求常数的值； 变式训练2．已知函数；若在处有极大值，求当时的值域. 变式训练3．已知函数；若函数的极小值为0，求实数的值； 题型三：已知极值个数求参 例题1．已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求的值； (2)若函数在内存在极值，求的取值范围； 变式训练1．已知函数；若函数存在两个极值点，求的取值范围； 变式训练2．已知函数（为非零常数） (1)若在处的切线经过点（2，ln2），求实数的值； (2)有两个极值点；求实数的取值范围； 变式训练3．已知函数． (1)求函数的最大值； (2)记，．若函数既有极大值，又有极小值，求的取值范围． 题型四：已知极值范围求参 例题1．已知函数为奇函数. (1)求的值； (2)若的极大值小于2，求实数的取值范围. 变式训练1．已知函数，其中. （1）若，求曲线在点处切线的斜率； （2）记函数的极大值为，若，求实数的取值范围. 变式训练2．已知，函数. （1）若为上的单调递增函数，求的取值范围； （2）若有不大于0的极小值，求的取值范围. 变式训练3．已知函数，其中． (1)当时，求函数的单调区间； (2)是否存在实数，使得函数的极值大于0？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型五：已知极值点求参范围 例题1．设函数. （Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a； （Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围. 变式训练1．已知函数. （Ⅰ）若，求的最小值； （Ⅱ）函数在处有极大值，求的取值范围. 变式训练2．已知函数. (1)求曲线在点处的切线的方程； (2)若函数在处取得极大值，求的取值范围； 变式训练3．已知函数，. （1）当时，求证：； （2）若函数在处取得极大值，求实数的取值范围. 题型六：区间存在极大值点或极小值点 例题1．已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程. （2）若，证明：存在极小值. 变式训练1．已知函数，为的导数．证明：在区间存在唯一极大值点； 变式训练2．设函数，. (1)当时，证明：在上无极值； (2)设，，证明：在上只有一个极大值点. 变式训练3．设函数. （1）设是的极值点，求，并讨论的单调性； （2）若，证明：在区间内，存在唯一的极小值点，且. 题型七：双极值范围 例题1．已知函数有两个不同的极值点. （1）求的取值范围； （2）求的极大值与极小值之和的取值范围. 变式训练1．已知函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求实数、的值； （2）令，函数的极大值与极小值之差等于，求实数的值. 变式训练2．已知函数，. （1）若，求证：当时，恒成立； （2）当时，求在区间上的最大值和最小值； （3）若函数存在极大值和极小值，且极大值和极小值的差不超过4，求a的取值范围. 变式训练3．已知函数 （Ⅰ）若曲线在点处的切线经过坐标原点，求实数的值； （Ⅱ）若函数存在两个极值点，且求实数的取值范围. 题型八：双极值证明 例题1．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在两个极值点，证明：． 变式训练1．若. (1)当，时，讨论函数的单调性； (2)若，且有两个极值点，，证明：. 变式训练2．已知函数． (1)若存在使得成立，求a的取值范围； (2)设函数有两个极值点，且，求证：． 变式训练3．已知函数其中，a为非零实数. (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若有两个极值点，