北京大学2019年自主招生数学试卷(优秀中学生暑期体验营）

2019 年北京海淀区北京大学自主招生数学试卷（优秀中学生暑期体 验营） 一、综合题（本大题共 7 小题） 1、�1，�2，⋯，��为正实数，�1�2⋯�� > 1，求证：�12 + �22 +⋯+ ��2 > �1 + �2 +⋯+ ��． 2、非负实数�，�满足� + �⩽ 2018 2019 ，求 2018 − 2019�2 + 2018 − 2019�2的最小值． 3、已知函数� � 满足� � � = � − 1，试证明：是否存在整数�使得� � 是整数？如有，请写出 所有符合条件的�；若无，请说明理由． 4、证明：不存在映射�: 1,2,⋯, 2019 → −1,1 ，使 1⩽�⩽�⩽2019�(�)�(�) = 0 ． 5、如下图所示，在等腰直角三角形���中，�� = ��，过�，�作��的垂线，交��于�，�，求 证：�� = ��．（请使用平面几何方法证明，解析几何方法不得分） 6、实数�，�，�满足� + � + � = �2 + �2 + �2 = 2，求���的最大值和最小值． 7、有 10条长为 1的线段，每一条都被分成若干个小线段，证明：总可以从中选择 6条组成 2个 三角形． 1 、【答案】 证明见解析． ; 【解析】 �1 2+⋯+��2 � ⩾ �1+⋯+�� � ⇔ �12 +⋯+ ��2⩾ �1+⋯+�� 2 � ， 故只需证 �1+⋯+�� 2 � > �1 +⋯+ ��， 故只需证 �1+⋯+�� � > 1， 又 �1+⋯+�� � > � �1�2⋯�� > 1成立， 证毕． 2 、【答案】 2018． ; 【解析】 先证明 2018 − 2019�2⩾− 2019� + 2018， 两式平方，即证 −2019�2⩾2019�2 − 2 2019 2018�， 亦即� 2018 − 2019� ⩾0成立． 于是 2018 − 2019�2 + 2018 − 2019�2⩾− 2019 � + � + 2 2018 ⩾ 2018， 等号在�，�中一个为 0，另一个为 2018 2019 的时候取到． 3 、【答案】 不存在，证明见解析． ; 【解析】 由题意，� � � � = � � − 1 = � � − 1 ， 若∃�0 ∈ �，使得� �0 ∈ �，则对∀� ∈ �，都有� � ∈ �， 设� 0 = � � ∈ � ，则� � = � 0 + � = � + �， � � � = � � + � = � + 2� = � − 1 ⇒ � =− 1 2 ，矛盾！ 故不存在整数�． 4 、【答案】 证明见解析． ; 【解析】 C20192 = 2019 × 1009为奇数，故和式中 1和−1不会一样多，即和式不会等于 0． 5 、【答案】 证明见解析． ; 【解析】 如图，作⊙ �,�� ，⊙ �, �� 分别交��于�，�， 显然�� ⊥ ��， �� ⊥ ��//SB， ∴�为△���的垂心， ∴�� ⊥ ��，���共线， ∴��为△ ���的中位线， �� = ��． 6 、【答案】 427，0． ; 【解析】 由� + � + � = 2平方得， �2 + �2 + �2 + 2(�� + �� + ��) = 4， 将�2 + �2 + �2 = 2，代入得�� + �� + �� = 1． 由� + � + � = 2得� + � = 2 − �． 由�2 + �2 + �2 = 2得�2 + �2 = 2 − �2， 由均值不等式知，2(�2 + �2)⩾(� + �)2， 即 2 2 − �2 ⩾ 2− � 2，即� 3� − 4 ⩽0，即 0⩽�⩽ 43． 由�� + �� + �� = 1得， �� = 1 − � � + � = 1 − � 2 − � = � − 1 2． 故��� = � � − 1 2． 记� � = � � − 1 2，� ∈ 0, 4 3 ，则 �′ � = � − 1 2 + 2� � − 1 = � − 1 3� − 1 ． 令�′ � = 0，解得� = 1 3 ，或� = 1． 当� ∈ 0, 1 3 时，�′ � > 0； 当� ∈ 1 3 , 1 时，�′ � < 0； 当� ∈ 1, 4 3 时，�′ � > 0． 故当� = 1时，���有最小值 � � ��� = � 1 = 1 × 1 − 1 2 = 0． � 1 3 = � 4 3 = 4 27 ． 7 、【答案】 证明见解析． ; 【解析】 设将这条长度为 1的线段分成�(�⩾2)段，其长度分别记作�� � = 1,2,⋯, � ． 当� = 2，3时，结论显然成立； 当� > 3时，不妨设 1 < �1⩽�2⩽⋯⩽�� < 1，则有�1 + �2