专题01 一元二次方程根的判别式与韦达定理的综合问题-2023年中考数学必考的解答题难题微专题精炼（高分突破）

2023年中考数学必考的解答题难题微专题精炼（全国通用） 专题01 一元二次方程根的判别式与韦达定理的综合问题 1.已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 2．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与都为整数，求k所有可能的值． 3. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 4．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值． 5．关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根． 6．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根小于1，求k的取值范围． 7. 阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝ 材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值． 解：∵一元二次方程x2－x－1＝0两个实数根分别为m，n， ∴m＋n＝1，mn＝－1， 则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ． （2）类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值． 8．已知：关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设方程的两根为、，且满足，求m的值． 9．已知关于的一元二次方程有实数根. （1）求实数m的取值范围； （2）当m=2时，方程的根为，求代数式的值. 10．已知关于的一元二次方程有实数根. （1）求的取值范围. （2）若该方程的两个实数根为、，且，求的值. 11．已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 12．已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由． 13.已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 14.已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 15.已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 16．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根． （1）若x1＝1，求x2及m的值； （2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 17．若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n． （1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值； （2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年中考数学必考的解答题难题微专题精炼（全国通用） 专题01 一元二次方程根的判别式与韦达定理的综合问题 1.已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】（1）根据根的判别式，即可判断； （2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值． 【小问1详解】 ， ∵， ∴， 该方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴，即． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 2．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程都