7.3.1 离散型随机变量的均值课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.1 离散型随机变量的均值 1．通过实例，理解取有限个值的离散型随机变量均值(数学期望)的概念和意义． 2．能计算简单离散型随机变量的均值(数学期望)，并能解决一些实际问题． 1.离散型随机变量的分布列 X x1 x2 ··· xn ··· P p1 p2 ··· pn ··· 2.离散型随机变量分布列的性质： (1) pi ≥0，i＝1，2，…； (2) p1＋p2＋…＋ pi ＋…＝1． 离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律. 但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便. 例如，要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般会比较它们的平均环数或总环数以及稳定性. 因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征. 思考：甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示. 环数 X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 如何比较他们射箭水平的高低呢？ 离散型随机变量的均值 类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看看稳定性. 假设甲射箭 n 次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为 ， ， ， . 则甲 n 次射箭射中的平均环数为 当 n 足够大时，频率稳定于概率，所以 稳定于 即甲射中平均环数的稳定值为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平. 同理，乙射中环数的平均值为 从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高. 一般地，若离散型随机变量 X 的概率分布为： 则称 为随机变量 X 的均值或数学期望，简称期望. 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn 孔隆教育 http://mykonglong.taobao.com 孔隆教育 http://mykonglong.taobao.com 8 例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分. 如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分 X 的均值是多少？ 解：因为 ， 所以 即该运动员罚球1次的得分 X 的均值是0.8. 1.一般地，如果随机变量 X 服从两点分布， 那么 X 0 1 P 1-p p 2.求离散型随机变量 X 的均值的步骤： (1)理解 X 的意义，写出 X 可能取的全部值； (2)求出 X 取每个值的概率P( X＝k)； (3)写出 X 的分布列； (4)利用定义公式 E(X)＝x1 p1＋x2 p2＋…＋xn pn 求出均值.　 解：因为 X 的可能取值为1，2，3，4，5，6， 分布列如表所示 所以 1.抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为 X，求 X 的均值. X 1 2 3 4 5 6 P 如果 X 是一个离散型随机变量，X 加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化？即 和 (其中a，b为常数)分别与有怎样的关系？ 离散型随机变量均值的性质 设 X 的分布列为 根据随机变量均值的定义， 孔隆教育 http://mykonglong.taobao.com 孔隆教育 http://mykonglong.taobao.com 13 类似地，可以证明 一般地，有下面的结论成立： 准确理解均值的性质 (1)当a＝0时，E(b)＝b，常数的数学期望是常数本身； 当a＝1时，E(X＋b)＝E(X)＋b；当b＝0时，E(aX)＝aE(X). (2)对于任意实数a，b，X 是随机变量，Y 也是随机变量，一定有 E(aX＋b)＝aE(X)+b，E(aX＋bY)＝aE(X)＋bE(Y). 例2 已知随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 (1)求 ； (2)求 . 解：(1) (2) 1．该类题目属于已知离散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式 E(X)＝x1 p1＋x2 p2＋…＋xn pn求解． 2．对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．　 2.已知随机变量 X 的分布列为 X -2 -1 0 1 2 P m 若Y＝－2X，则 E(Y)＝________． 解：由随机变量的分布