7.3.1 离散型随机变量的均值 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布列 7.3.1离散型随机变量的均值 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 学习目标 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的数学期望（均值）的概念； 2.会用离散型随机变量“均值”解决相关实际问题 重点：离散型随机变量均值意义、性质及应用； 难点：对随机变量均值的理解 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 一 复习 引入 离散型随机变量的分布列： 一般地，设离散型随机变量的可能取值为，我们称取每一个值的概率 为的概率分布列 (1)Pi ≥0，i=1，2， …，n， (2) P1+P2+ … +Pn =1 X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 二 讲新课 问题1: 甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 假设甲射箭次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为 ,,, . 甲n次射箭射中的平均环数为 ： 当足够大时，频率稳定于概率，所以稳定于概率，所以稳定于 7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9，这个平均值的大小可以反映甲的射箭水平。 同理，乙射中环数的平均值为 7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65 从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 。 例1 在篮球比赛中, 罚球命中1次得1分, 不中得0分 . 如果某运动员罚球命中的概率为0.8 , 那么他罚球1次的得分的均值是多少？ 分析：罚球命中与否有两个结果，命中时，不中时0，因此随机变量，因为 所以=1×0.8+0×0.2 =0.8 即该运动员罚球1次的得分的均值是0.8 0 1 0.2 0.8 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么： E(X )=0×(1-p) + 1×p =p 例2 抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为，求的均值. 分析: 先求出的分布列, 再根据定义计算的均值. 解：的可能值分别是1，2，3，4，5，6 因此 ,E(X)= (1+2+3+4+5+6)=3.5 1 2 3 4 5 6 问题： 如果X是一个离散型随机变量，加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化? 即和(其中为常数)分别与有怎样的关系? 设的分布列为 ） 根据随机变量均值的定义， 即 类似地，可以证明： （2）E(aX)=aE(X) （3）E(aX+b)= aE(X)+b 例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名. 某嘉宾参加猜歌名节目, 猜对每首歌曲的歌名相互独立, 猜对三首歌曲歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示. 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 规则如下: 按照的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首. 求嘉宾获得的公益基金总额的分布列及均值. 解：分别用表示猜对歌曲歌名的事件, 相互独立 的可能值0，1000，3000，6000 , , , , 的分布列如下表所示： X的均值 X 0 1000 3000 6000 P 0.2 0.32 0.288 0.192 例4 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元. 为保护设备，有以下3种方案： 方案1:运走设备，搬运费为3800元。 方案2:建围墙, 建设费为2000元, 但围墙只能挡住小洪水. 方案3:不采取措施，希望不发生洪水. 工地的领导该如何决策呢? 解: 设方案1、方案2、方案3的总损失分别为. 采用方案1：无论有无洪水, 都损失3800元. 因此, 采用方案2, 遇到大洪水时 , 总损失为2000+6000=62000元 没有大洪水时, 总损失为2000元, 因此， 采用方案3， , , . 于是 , E(X1)=3800, E(X2)=62000×0.01+2000×0.99=2600, E(X3)=60000×0.01+10000×0.25+0×0.74=3100. 因此, 从期望损