专题01 二次函数中角相等问题-2023年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（上海地区专用）

专题01 二次函数中角相等问题 目录 最新模考题热点题型归纳 【题型一】 已知等角求点的坐标 【题型二】 构造等角求点的坐标 【题型三】 二次函数中45°问题 【题型四】 一线三等角在二次函数中的应用 【题型一】已知等角求点的坐标 【典例分析】 （2023静安区一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx−6（a≠0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，联结BC，∠ABC的余切值为，AB＝8，点P在抛物线上，且PO＝PB． （1）求上述抛物线的表达式； （2）平移上述抛物线，所得新抛物线过点O和点P，新抛物线的对称轴与x轴交于点E． ①求新抛物线的对称轴； ②点F在新抛物线对称轴上，且∠EOF＝∠PCO，求点F的坐标． 【提分秘籍】 当题目中出现相等的角时，可以通过计算已知角的三角比，用所求点的横纵坐标表示另一角的三角比，从而建立等量关系；同时也可以通过构造相似三角形，利用比例线段解决问题。 方法辨析：平面直角坐标系中的角相等问题，首选锐角三角比，但是当计算复杂或者某个点坐标难求时，可以构造相似三角形解决问题。 【变式演练】 （2023浦东新区一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐 标原点，已知点B的坐标是（3，0），tan∠OAC＝3； （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P在x轴上方的抛物线上，且∠PAB＝∠CAB，求点P的坐标； （3）点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出符合条件的点D的坐标． 【题型二】 构造等角求点的坐标 【典例分析】 （2023徐汇区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，已知B点的坐标为（6，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，点D是BC上方抛物线上的一个动点． （1）求这个抛物线的解析式； （2）当△BCD的面积为时，求点D的坐标； （3）是否存在点D，使得∠DCB＝2∠ABC？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【提分秘籍】 方法总结：以上的第2、3、4题通过已知中出现的45°特殊角，通过外角性质或者角的和差，构造了等角，进而再利用三角比进行问题解决。因此，如何巧妙利用和拆分特殊角成为了构造等角的关键所在。 【变式演练】 【题型三】 二次函数中45°问题 【典例分析】 （2023嘉定区一模）在平面直角坐标系xOy（如图7）中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣4，0）、B（﹣2，2），与y轴的交点为C． （1）试求这个抛物线的表达式； （2）如果这个抛物线的顶点为M，联结MB，BC，求tan∠MBC； （3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E在线段AB上，且∠DOE＝45°，求点E的坐标． 【变式演练】 （2023徐汇区一模）在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0）、B（2，2），与y轴的交点为C． （1）试求这个抛物线的表达式； （2）如果这个抛物线的顶点为M，求△AMC的面积； （3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E在线段AB上，且∠DOE＝45°，求点E的坐标． 【题型四】 一线三等角在二次函数中的应用 【典例分析】 【提分秘籍】 综合上面题目，对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题（利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角），其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。 二次函数中的角相等问题比较灵活，同学们在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。 【变式演练】 1 / 4 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数中角相等问题 目录 最新模考题热点题型归纳 【题型一】 已知等角求点的坐标 【题型二】 构造等角求点的坐标 【题型三】 二次函数中45°问题 【题型四】 一线三等角在二次函数中的应用 【题型一】已知等角求点的坐标 【典例分析】 （2023静安区一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx−6（a≠0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，联结BC，∠ABC的余切值为，AB＝8，点P在抛物线上，且PO＝PB． （1）求上述抛物线的表达式； （2）平移上述抛物线，所得新抛物线过点O和点P，新抛物线的对称轴与x轴交于点E． ①求新抛物线的对称轴； ②点F在新抛物线对称轴上，且∠EOF＝∠PCO，求点F的坐标． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）①用待定系数法求出函数表达式，即可求解；②由新抛物线的表达式：y＝x2﹣4x，得到直线CP的表达式为：y＝kx﹣6，进而求解．