压轴题型02 构造法在函数中的应用-2023年高考数学压轴题专项训练（新高考专用）

压轴题型02 构造法在函数中的应用 近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考． 1 构造法解决高考函数对称与周期性问题 2 主元构造法 3 分离参数构造法 4 局部构造法 5 换元构造法 6 特征构造法 7 放缩构造法 一、单选题 1．若正数满足，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 2．设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．“米”是象形字.数学探究课上，某同学用拋物线和构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线，的焦点分别为，，点在拋物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．三星堆古遗址作为“长江文明之源"，被誉为人类最伟大的考古发现之一.3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，当时，．若有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知函数，如果不等式对恒成立，则实数m的取值范围_______________. 8．下列四个命题（为自然对数的底数） ①；②；③；④. 其中真命题序号为__________. 9．设函数，若关于x的函数恰好有四个零点，则实数a的取值范围是____________. 三、解答题 10．已知正数满足，求的最小值. 11．已知函数在处的切线方程为 (1).求的解析式； (2).若对任意的，均有求实数k的范围； (3).设为两个正数，求证: ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴题型02 构造法在函数中的应用 近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考． 1 构造法解决高考函数对称与周期性问题 2 主元构造法 3 分离参数构造法 4 局部构造法 5 换元构造法 6 特征构造法 7 放缩构造法 一、单选题 1．若正数满足，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】显然，. 因为且，所以，，. 又由题设，得，则. 故. 选A. 2．设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用函数的单调性可以证明.令函数，化为.令，利用导数研究其单调性即可得出. 【详解】解：， 当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 即函数的取值范围为，， 若上存在点，使得成立， 则，. 又在定义域上单调递增. 所以假设，则（c），不满足. 同理假设，也不满足. 综上可得：.，. 函数，的定义域为， 等价为，在，上有解 即平方得， 则， 设，则， 由得，此时函数单调递增， 由得，此时函数单调递减， 即当时，函数取得极小值，即（1）， 当时，（e）， 则. 则. 故选：. 【点睛】本题考查了函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题. 3．“米”是象形字.数学探究课上，某同学用拋物线和构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线，的焦点分别为，，点在拋物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据抛物线的对称性求出P点横坐标，再由抛物线定义求出即可. 【详解】因为，即，由抛物线的对称性知， 由抛物线定义可知，，即，解得， 故选：D 4．三星堆