【高中数学突破140分之二轮难点专题复习】 难点突破09 利用导数解决恒成立和能成立综合问题（全国通用版）

【高中数学突破140分之二轮难点专题复习】 难点突破09 利用导数解决恒成立和能成立综合问题 （全国通用版） 题型分类训练 1．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，求a的取值范围. 2．已知函数，其中，设为的导函数． (1)若，求的最小值： (2)若时，恒成立，求的取值范围． 3．已知函数. (1)当时，证明函数只有一个零点. (2)若存在，使不等式成立，求的取值范围. 4．已知函数. (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若存在整数使得恒成立，求整数的最大值.（参考数据：，，，，，） 5．已知函数，，. (1)若函数的图象在处的切线方程为，求，的值； (2)若，，恒成立，求实数的取值范围. 6．已知函数，. (1)当时，求函数的极值； (2)若任意且，都有成立，求实数的取值范围. 7．已知函数，，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，，使得，求实数的取值范围． 8．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在处取得极小值，求的值； (3)若存在正实数，使得对任意的，都有，求的取值范围． 9．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，使得，求实数的取值范围. 10．已知函数，其中为自然对数的底，. (1)求证：； (2)是否存在实数，使得恒成立？若存在，求的取值集合，若不存在请说明理由. 11．已知函数． (1)求证：函数在上单调递增； (2)当时，恒成立，求实数k的取值范围． 12．已知函数，其中． (1)求函数的单调区间； (2)证明：存在，使得恒成立，且方程有唯一的实根． 13．已知函数． (1)当时，求证：； (2)设，若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数k的取值范围． 14．已知函数，且. (1)讨论函数的单调性. (2)若存在使得成立，求实数的取值范围. 15．已知函数（e为自然对数的底数），a，. (1)当时，讨论在上的单调性； (2)当时，若存在，使，求a的取值范围. 16．已知， (1)讨论的单调性； (2)当时，若不等式在上恒成立，求的取值范围（为自然对数的底数） 17．已知函数，为的导函数. (1)讨论的极值； (2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范围. 18．已知函数. (1)若，判断的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求正实数a的取值范围. 19．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 20．设函数． (1)当时，求在上的最值； (2)对，不等式恒成立，求实数的范围． 21．已知且在上单调递增，. (1)当取最小值时，证明恒成立. (2)对，，使得成立，求实数的取值范围. 22．已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)若，恒有成立，求实数的取值范围． 23．已知函数，． (1)求的单调区间与最值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 24．已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)当时，若对，恒成立，求的最小值． 25．已知函数，． (1)求的极值； (2)若存在，使得，求实数的范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $ 【高中数学突破140分之二轮难点专题复习】 难点突破09 利用导数解决恒成立和能成立综合问题 （全国通用版） 题型分类训练 1．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求函数的导数，分或两种情况讨论； （2）由，令，，分，或三种情况讨论. 【详解】（1）的定义域为. 当时，，则， 当时，可知在上单调递增， 当时，令，得，今，得. 因为，所以为偶函数， 所以当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，； （2）令，可得， 令，则. 当时，，显然成立. 当时，，在区间上单调递增，若，由，可得， 有，与矛盾. 当时，令，可得，可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，可得. 若，则必有，可化为， 令，由，可得，令，得， 可知的单调递减区间为，单调递增区间为， 则，可知. 综上，a的取值范围为. 【点睛】导数恒成立问题方法点睛： 1.含参不等式恒成立问题首选的方法是通过分离变量，转化为求函数的最值问题. 2.不能参变分离时，通过构造函数，分类进行讨论，求导得到函数的单调性，求此函数的最值. 2．已知函数，其中，设为的导函数． (1)若，求的最小值： (2)若时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）由题设，利用导数研究的单调性并确定区间最值即可； （2）由题设及（1）易知在上递增，则，结合讨论、研究的单调性，结合恒成立确定参数范围. 【详解】（1）时，