【高中数学突破140分之二轮难点专题复习】 难点突破08 利用导数证明不等式综合问题（全国通用版）

【高中数学突破140分之二轮难点专题复习】 难点突破08 利用导数证明不等式综合问题（全国通用版） 题型分类训练 1．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 2．已知函数． (1)若方程恰有个实数解，求实数的取值范围； (2)证明：． 3．已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)设，当时，证明：． 4．已知函数． (1)证明：当时，恒成立； (2)若且，证明：，． 5．已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)若存在两个非负零点，求证：． 6．已知函数，其中为自然对数的底数，. (1)当时，函数有极小值，求； (2)证明：恒成立； (3)证明：. 7．已知为正实数，函数. (1)若恒成立，求的取值范围； (2)求证：（）. 8．已知函数（）． (1)若函数的极大值为0，求实数a的值； (2)证明：当时，． 9．已知函数，为函数的导函数 (1)讨论的单调性； (2)当时，，若，，且，证明：. 10．已知函数（）. (1)若函数的极大值为0，求实数a的值； (2)证明：当时，. 11．已知函数（其中为自然对数的底数），． (1)讨论函数的单调性； (2)若对任意的都有不等式成立，求实数a的值． (3)设，证明：． 12．已知函数． (1)讨论函数的零点个数； (2)若存在不同的正实数使得，证明：． 13．已知. (1)当，证明； (2)讨论的单调性； (3)利用（1）中的结论，证明：. 14．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若a，b为两个不相等的实数，且满足，求证：． 15．已知函数. (1)若在定义域上具有唯一单调性，求的取值范围； (2)当时，证明：. 16．已知函数. (1)当时，，求实数的取值范围； (2)证明：（）． 17．已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)求证：，其中，. 18．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)①当时，恒成立，求的取值范围； ②证明：. 19．若函数有两个零点，且. (1)求a的取值范围； (2)若在和处的切线交于点，求证：. 20．已知有两个极值点、，且． (1)求的范围； (2)当时，证明：． 21．已知函数． (1)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围； (2)若，求证：． 22．已知函数． (1)若在上恒成立，求实数a的取值范围； (2)证明：． 23．已知 (1)当时，求单调区间； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)设，，证明：． 24．已知函数． (1)若，求的值； (2)证明：． 25．已知函数． (1)当a=0时，求函数的最小值； (2)当的图像在点处的切线方程为y=1时，求a的值，并证明：当时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $ 【高中数学突破140分之二轮难点专题复习】 难点突破08 利用导数证明不等式综合问题（全国通用版） 题型分类训练 1．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 【答案】(1)函数在上单调递增 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得出答案； （2）当时，，即证在上恒成立，利用导数求出函数的单调区间，再利用导数比较在时，和的大小，即可得证. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 记，则， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 所以， 所以函数在上单调递增； （2）原不等式为，即， 即证在上恒成立， 设，则， 所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以， 令， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，所以， 且在上有，所以可得到，即， 所以在时，有成立. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间及利用导数证明不等式问题，考查了转化思想及逻辑推理能力，有一定的难度. 2．已知函数． (1)若方程恰有个实数解，求实数的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分析可知方程恰有个实数解，令，则函数的图象与直线有个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围； （2）计算可得，设函数，，利用导数推导出，，结合不等式的基本性质可证得结论成立. 【详解】（1）解：由可得，所以，方程恰有个实数解， 令，其中，则， 令，可得或；令可得. 故函数的单调递增区间为、，单调递减区间为， 所以，函数的极大值为，极小值为，如下图所示： 故当时，函数的图象与直线有个交点， 因此，实数的取值范围是. （2）证明：， 设函数，其中，则． 当时，；当时，． 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以， 设函数，则， 设，则， 令，得，由可得，由可得， 则， 所以，从而在上单调递增，则，故， 因此． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下