【高中数学突破140分之二轮难点专题复习】 难点突破07 利用导数解决函数的零点、交点或方程的根的问题（含隐零点替换）综合问题（全国通用版）

【高中数学突破140分之二轮难点专题复习】 难点突破07 利用导数解决函数的零点、交点或方程的根的问题（含隐零点替换）综合问题（全国通用版） 题型分类训练 1．已知函数，求证： (1)存在唯一零点； (2)不等式恒成立． 2．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，讨论函数的零点个数. 3．已知，． (1)讨论的单调性； (2)若，，试讨论在内的零点个数．（参考数据：） 4．已知函数. (1)若，求的最小值； (2)判断方程的实根个数. 5．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围. 6．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围． 7．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，讨论函数的零点个数. 8．已知函数． (1)求的单调区间和极值； (2)若是函数的极值点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）讨论在区间上的零点个数． 9．已知函数. (1)若在上的最大值为，求实数的值. (2)若存在两个零点，. ①求实数的取值范围； ②证明：. 10．已知函数（）． (1)试讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，（），求证：． 11．已知函数． (1)若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值； (2)若，证明：在区间内有唯一的零点． 12．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围. 13．已知函数，为的导函数. (1)讨论单调性和极值； (2)若存在两个零点，求的取值范围；并证明：. 14．设函数. (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，判断函数的零点个数，并说明理由. 15．已知函数， (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在区间上存在两个不同零点，求实数的取值范围． 16．已知函数. (1)若存在极值，求的取值范围； (2)当，且时，证明：函数有且仅有两个零点. 17．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积； (2)若没有零点，求a的取值范围． 18．已知函数，，. (1)判断的单调性； (2)若有唯一零点，求的取值范围. 19．已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若方程有唯一的正根，求实数的取值范围． 20．设函数，． (1)当时，设，求函数的单调区间； (2)若函数有两个零点，求的取值范围． 21．已知函数． (1)讨论函数的零点个数； (2)若存在不同的正实数使得，证明：． 22．已知函数，其中，． (1)求函数的单调区间； (2)当时，函数恰有两个零点，求a的取值范围． 23．已知函数. (1)求函数的极值点； (2)当时,当函数恰有三个不同的零点，求实数的取值范围. 24．已知函数，． (1)求证：存在唯一零点； (2)设，若存在，使得，求证：． 25．已知函数满足恒成立. (1)求的取值范围； (2)设，求在上的零点个数； (3)在（2）的条件下，设在上最小的零点为，若且，求证：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $ 【高中数学突破140分之二轮难点专题复习】 难点突破07 利用导数解决函数的零点、交点或方程的根的问题（含隐零点替换）综合问题（全国通用版） 题型分类训练 1．已知函数，求证： (1)存在唯一零点； (2)不等式恒成立． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由导数得出的单调性，结合零点存在性定理证明即可； （2）先证明，再由的单调性，证明不等式即可. 【详解】（1），. 当时，，此时函数单调递增； 当时，，此时函数单调递减； 所以，即. 所以在上单调递增，. 则在上，存在，使得，即存在唯一零点； （2）， 令，. 当时，，此时函数单调递增； 当时，，此时函数单调递减； 即，故. 因为函数在上单调递增，所以. 即. 故不等式恒成立. 【点睛】关键点睛：在证明第二问时，关键是由导数证明，再利用函数的单调性证明，在做题时，要察觉到这一点. 2．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，讨论函数的零点个数. 【答案】(1)增区间为和，减区间为 (2)答案见解析 【分析】（1）当时，求得，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）利用导数分析函数的单调性，对实数的取值进行分类讨论，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】（1）解：当时，，该函数的定义域为， ， 由可得，由可得或. 故当时，函数的增区间为和，减区间为. （2）解：函数的定义域为， ， 由，得，， 由可得，由可得或. 所以，函数的增区间为、，减区间为， 所以，函数的极大值为， 极小值为， 当时，， 令，其中， 则，即函数在上单调递增