【高中数学突破140分之二轮难点专题复习】 难点突破06 利用导数解决函数的极值点问题（含极值点偏移）综合问题（全国通用版）

【高中数学突破140分之二轮难点专题复习】 难点突破06 利用导数解决函数的极值点问题（含极值点偏移）综合问题（全国通用版） 题型分类训练 1．已知函数f(x)＝x－alnx (1)求函数f(x)的极值点； (2)若方程有2个不等的实根，证明：. 2．已知函数在（为自然对数的底数）时取得极值，且有两个零点，． (1)求实数的值，以及实数的取值范围； (2)证明：． 3．已知函数有两个极值点，. (1)求的取值范围； (2)证明：. 4．已知函数. (1)求出的极值点； (2)证明：对任意两个正实数，且，若，则. 5．已知函数． (1)求函数的极值； (2)若函数有两个不相等的零点，． （i）求a的取值范围； （ii）证明：． 6．已知函数. (1)若，讨论的单调性； (2)求证：有唯一极值点，且. 7．已知函数为自然对数的底数. (1)若是函数的唯一极值点，求正实数的取值范围； (2)令函数，若存在实数，使得，证明：. 8．已知有两个极值点、，且． (1)求的范围； (2)当时，证明：． 9．已知函数. (1)证明：函数有且只有一个零点； (2)设，，若是函数的两个极值点，求实数的取值范围，并证明. 10．已知函数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若有两个极值点，证明：． 11．已知函数有两个极值点． (1)求实数的取值范围； (2)设函数的两个极值点分别为，且，证明：. 12．已知函数，其中e为自然对数的底数，． (1)求函数的单调区间； (2)设，当时，证明：函数有且仅有一个极小值点，且． 13．已知函数，其中为实数，为自然对数底数，． (1)已知函数，，求实数取值的集合； (2)已知函数有两个不同极值点、． ①求实数的取值范围； ②证明：． 14．设函数，记的导数为． (1)讨论的单调性； (2)若有三个不同的极值点，，，证明：． 15．已知函数，在定义域上有两个极值点． (1)求实数的取值范围； (2)求证：若，则 16．已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数存在两个极小值点，，求证：. 17．已知函数，且 (1)求实数的值 (2)若关于的方程有个不同的实数根，，求证：． 18．已知函数． (1)讨论的极值点个数； (2)若有两个极值点，且，当时，证明：． 19．已知函数． (1)若不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)若函数有三个不同的极值点，，，且，求实数a的取值范围． 20．已知，函数. (1)若，证明：当时，： (2)若函数存在极小值点，证明： 21．已知函数，． (1)若，证明：在上单调递增． (2)若存在两个极小值点． ①求实数的取值范围； ②试比较与的大小． 22．已知函数． (1)若是函数的极值点，求实数a的值； (2)当时，设函数的两个极值点为，且，求证：． 23．已知函数． (1)当时，证明； (2)若存在极值点，且对任意满足的，都有，求a的取值范围． 24．已知，函数． (1)求曲线在处的切线方程 (2)若函数有两个极值点，且， （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）当时，证明：． （注：…是自然对数的底数） 25．已知函数． (1)当时，求函数的极值． (2)若有三个极值点，且， ①求实数的取值范围； ②证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $ 【高中数学突破140分之二轮难点专题复习】 难点突破06 利用导数解决函数的极值点问题（含极值点偏移）综合问题（全国通用版） 题型分类训练 1．已知函数f(x)＝x－alnx (1)求函数f(x)的极值点； (2)若方程有2个不等的实根，证明：. 【答案】(1)时无极值点；a＞0时，极小值点是，无极大值点； (2)证明见解析. 【分析】(1)求f(x)导数，讨论f(x)的单调性即可求函数的极值点； (2)构造函数，证明g(x)在(0，a)上单调递减，得到，即，即可转化为，再根据f(x)单调性可得结论. (1) f(x)的定义域是，求导得， 当，，函数f(x)没有极值点； 当时，令，得 在(0，a)上，，f(x)单调递减，在上，，f(x)单调递增， ∴函数f(x)有极小值点，无极大值点； (2) 由(1)知方程有2个不等的实根时，f(x)在定义域上不单调，一定有，在(0，a)上f(x)单调递减，在上f(x)单调递增，不妨设， 令， ∵， ∴， 由得，∴， ∴g(x)在(0，a)上单调递减，∴， 即， 结合题设有， ∵，而f(x)在上单调递增， ∴，即. 【点睛】本题关键点点睛：，联想到，而，则，故构造函数，证明其在(0，a)上单调递减得，即. 2．已知函数在（为自然对数的底数）时取得极值，且有两个零点，． (1)求实数的值，以及实数的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)，