【高中数学突破140分之二轮难点专题复习】 难点突破05 圆锥曲线定值综合问题（全国通用版）

【突破140分之高中数学二轮难点专题复习】 难点突破05 圆锥曲线定值综合问题（全国通用版） 题型分类训练 1．已知双曲线的左右焦点分别为，，M在C的右支上，的最大值为3，且当时，的面积为. (1)求C的方程； (2)若A，B是C上位于x轴上方上的两点，且，与交于点P，求证：为定值. 2．已知双曲线过点，且与的两个顶点连线的斜率之和为4． (1)求的方程； (2)过点的直线与双曲线交于，两点（异于点）．设直线与轴垂直且交直线于点，若线段的中点为，证明：直线的斜率为定值，并求该定值． 3．已知点A，B是椭圆的左，右顶点，椭圆E的短轴长为2，离心率为． (1)求椭圆E的方程； (2)点O是坐标原点，直线l经过点，并且与椭圆E交于点M，N，直线与直线交于点T，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 4．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在C上. (1)求C的方程； (2)若圆的切线l与C交于点A，B，证明为定值，并求出定值. 5．已知曲线：，且点和点在曲线上. (1)求曲线的方程； (2)若点为坐标原点，直线与曲线交于，两点，且满足，试探究：点到直线的距离是否为定值.如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，、，点是椭圆短轴的一个顶点.若是周长为6的等边三角形. (1)求椭圆的方程； (2)作斜率为的直线，与椭圆交于A，B两点，点为的中点.若、的斜率分别为、，证明：为定值. 7．已知椭圆：的右焦点为，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)若直线：，与椭圆交于两点，证明：. 8．已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切. (1)求C的方程； (2)直线：与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为（O为坐标原点），△APQ的面积为.的面积为，若，判断是否为定值？并说明理由. 9．已知抛物线为其焦点，点在上，且（为坐标原点）. (1)求抛物线的方程； (2)若是上异于点的两个动点，当时，过点作于，问平面内是否存在一个定点，使得为定值？若存在，请求出定点及该定值：若不存在，请说明理由. 10．已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设，，分别为椭圆的左、右顶点，过点的直线与椭圆交于点，（异于，），直线与直线交于点，直线，的斜率分别为，，证明：是定值，并求出该定值． 11．已知圆：，为圆上一动点，，线段的垂直平分线交于点G. (1)求动点G的轨迹C的方程； (2)已知，轨迹C上关于原点对称的两点M，N，射线AM，AN分别与圆交于P，Q两点，记直线MN和直线PQ的斜率分别为，. ①求AM与AN的斜率的乘积； ②问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由. 12．已知，分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线上的点，且的面积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)设为坐标原点，动直线，为双曲线的两条切线，且，过作，的垂线，垂足分别为，求证：． 13．如图所示，为椭圆的左､右顶点，离心率为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)已知为坐标原点，点，点是椭圆上的点，直线交椭圆于点不重合），直线与交于点.求证：直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 14．仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，其体解题方法为将由仿射变换得：，，则椭圆变为，直线的斜率与原斜率的关系为，然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关系．最后转换回椭圆即可．已知椭圆的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与相交于、两点且，过椭圆外一点作椭圆的两条切线、且，切点分别为、． (1)求证：点的轨迹方程为； (2)若原点到、的距离分别为、，延长表示距离、的两条直线，与椭圆交于、两点，试求：原点在边上的射影所形成的轨迹与所形成的轨迹的面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数． 15．已知椭圆的左焦点为，点在上，的最大值为，且当垂直于长轴时，. (1)求的方程； (2)已知点为坐标原点，与平行的直线交于两点，且直线，分别与轴的正半轴交于两点，试探究是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由. 16．已知椭圆的右焦点F和抛物线的焦点重合，且和的一个公共点是． (1)求和的方程； (2)过点F作直线l分别交椭圆于A，B，交抛物线于P，Q，是否存在常数，使为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 17．已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为的直线l与双曲线C交于两点，点在双曲线C上，且. (1)求的面积； (2)若（O为坐标原点），点，记直线的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 18．已知点在椭圆上，点为椭圆上异于顶点的任意一点，过点作椭圆的两条切线