【高中数学突破140分之二轮难点专题复习】 难点突破04 圆锥曲线定点综合问题（全国通用版）

【突破140分之高中数学二轮难点专题复习】 难点突破04 圆锥曲线定点综合问题（全国通用版） 题型分类训练 1．已知双曲线（，）经过点，渐近线经过点. (1)求的方程； (2)作直线与的两支分别交于点，，使得.求证：直线过定点. 2．已知双曲线的一条渐近线方程为，且点，，均在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与直线的纵截距互为相反数，求证：直线过定点. 3．已知椭圆的离心率为，，是C的顶点，点M是第一象限内的动点，已知的斜率之比为． (1)证明：点M在一条定直线上； (2)设与椭圆C分别交于另外的两点，证明直线过定点． 4．已知椭圆过点，且焦距为. (1)求椭圆的方程； (2)过直线（不经过点交椭圆于点，，试问直线与直线的斜率之和为，求证：过定点. 5．已知双曲线C：的离心率为，点在双曲线上． (1)求双曲线C的方程； (2)若A，B为双曲线的左、右顶点，，若MA与C的另一交点为P，MB与C的另一交点为Q（P与A，Q与B均不重合）求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标． 6．已知椭圆C：的离心率与双曲线的离心率互为倒数，点在椭圆C上，不过点A的直线l与椭圆C交于P，Q两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线AP，AQ的斜率之和为1，试问直线l是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过定点，请说明理由． 7．抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的短轴长． (1)求抛物线的方程； (2)设是抛物线上位于第一象限的一点，过作（其中）的两条切线，分别交抛物线于点,,证明：直线经过定点． 8．已知直线l与抛物线交于A，B两点，且，，D为垂足，点D的坐标为． (1)求C的方程； (2)若点E是直线上的动点，过点E作抛物线C的两条切线，，其中P，Q为切点，试证明直线恒过一定点，并求出该定点的坐标． 9．已知椭圆和双曲线，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点．设是椭圆的右顶点，记直线，的斜率分别为，，直线，与双曲线的另一个交点分别为，，． (1)求的值； (2)求证：直线过定点． 10．已知在平面直角坐标系xOy中，，点M到直线的距离为d，，记点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)经过F的直线l与曲线C交于点D，E，设，直线DA，EA分别与直线交于点P，Q，证明：以PQ为直径的圆经过点F. 11．在平面直角坐标系中，双曲线的焦点到渐近线的距离为，焦距为. (1)求的方程； (2)如图，点为双曲线的下顶点，点在轴上（位于原点与上顶点之间），过作轴的平行线，过的另一条直线交双曲线于两点，直线分别与交于两点，若，求点的坐标. 12．如图所示，已知分别为双曲线的左､右顶点，为直线上的动点，若直线与的另一交点为，直线与的另一交点为点. (1)设直线的斜率分别是，求证：为定值； (2)求证：直线恒过定点，并求出定点坐标. 13．已知椭圆的右焦点为，若过点的直线与椭圆交于，两点，且的中点为． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆的右顶点为，点，在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，证明直线经过定点，并求面积的最大值． 14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且. (1)求椭圆的方程； (2)过作两条斜率不为且互相垂直的直线分别交椭圆于、和、，线段的中点为，线段的中点为，证明：直线过轴上一定点，并求出该定点的坐标. 15．已知双曲线的焦距为10，且经过点．A，B为双曲线E的左、右顶点，P为直线上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D（不同于A，B）． (1)求双曲线E的标准方程． (2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 16．已知椭圆的左顶点为A，点E为直线与的一个交点（异于点A），当时，点E在y轴上. (1)求的标准方程； (2)若点F为过点A且斜率为的直线与的一个交点（异于点A），求证：直线过定点，并求出该定点的坐标. 17．已知椭圆的离心率为，其左右焦点为、，斜率为1的直线经过右焦点，与椭圆交于不同的两点、，的周长为12. (1)求椭圆的方程； (2)求的面积； (3)过点任作与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于、两点，在轴上是否存在一定点，使恰为的平分线？. 18．已知动圆经过定点，且与圆：内切. (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)设轨迹与轴从左到右的交点为点，点为轨迹上异于的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点.直线､的斜率分别为､. （i）求证：为定值； （ii）证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标. 19．已知椭圆：的右焦点为，为椭圆上一动点，的最大值为3，最小值为1，过的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点. (1)若，求直线的斜率. (2)当直线的斜率存在时，试判断轴上是否存在一点，使.若存在，求出点的坐标