【高中数学突破140分之二轮难点专题复习】 难点突破01 圆锥曲线弦长综合问题（全国通用版）

【高中数学突破140分之二轮难点专题复习】 难点突破专题01 圆锥曲线弦长综合问题（全国通用版） 知识点梳理 若直线与圆雉曲线相交于，两点， 由直线与圆锥曲线联立，消元得到（） 则： 则：弦长 或 弦长类题型解题步骤 1、联立直线与圆锥曲线方程，化简得到关于的一元二次方程 2、根据，确定参数范围 3、使用韦达定理得到 4、使用弦长公式求解即可 题型分类训练 1．已知椭圆的离心率为，它的四个顶点构成的四边形的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与圆相切且与椭圆交于、两点，求的最大值． 2．已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，椭圆C的上顶点为M，右顶点为N，O为坐标原点，的面积为1． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与曲线相切，与椭圆C交于A，B两点，求的取值范围． 3．在平面直角坐标系中，点到点的距离的倍与它到直线的距离的倍之和记为，当点运动时，恒等于点的横坐标与之和． (1)求点的轨迹； (2)设过点的直线与轨迹相交于、两点，求线段长度的最大值． 4．已知椭圆，椭圆的离心率是．过点作圆的切线l交椭圆G于A，B两点． (1)求椭圆G的方程； (2)当时，求圆的切线方程： (3)将表示为m的函数，并求的最大值． 5．已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，如图，过点任作两条互相垂直的直线，，分别交抛物线于，，，四点，，分别为，的中点. (1)求的值； (2)求证：直线过定点，并求出该定点的坐标； (3)设直线交抛物线于，两点，试求的最小值. 6．在平面直角坐标系中，动点到定点的距离与动点到定直线的距离的比值为，记动点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的标准方程. (2)若动直线l与曲线C相交于A，B两点，且（O为坐标原点），求弦长的取值范围. 7．已知点为椭圆C的右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），. (1)求椭圆C的标准方程； (2)经过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦的取值范围. 8．已知椭圆的离心率为，C上的点到其焦点的最大距离为． (1)求C的方程； (2)若圆的切线l与C交于点A，B，求的最大值． 9．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且，，. (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆，则称为的倍相似椭圆，如图，已知是的3倍相似椭圆，直线与两椭圆，交于4点（依次为，，，如图），且，若，求的值. 10．定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆．已知椭圆，椭圆（且）是椭圆的相似椭圆，点为椭圆上异于其左、右顶点的任意一点． (1)当时，若与椭圆有且只有一个公共点的直线恰好相交于点，直线的斜率分别为，求的值； (2)当（e为椭圆的离心率）时，设直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于点，求的值． 11．已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点（不在轴上），的周长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在椭圆上，且为坐标原点），求的取值范围. 12．如图，已知椭圆的左､右顶点分别为，点是椭圆上异于的动点，过原点平行于的直线与椭圆交于点的中点为点，直线与椭圆交于点，点在轴的上方. (1)当时，求； (2)求的最大值. 13．已知椭圆G：，与x轴不重合的直线l经过左焦点，且与椭圆G相交于A，B两点，弦AB的中点为M，直线OM与椭圆G相交于C，D两点． (1)若直线l的斜率为1，求直线OM的斜率； (2)是否存在直线l，使得成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 14．设椭圆的左，右焦点分别为，其离心率为，且点在C上. (1)求C的方程； (2)O为坐标原点，P为C上任意一点.若M为的中点，过M且平行于的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在实数，使得？若存在，求值；若不存在，说明理由. 15．已知椭圆C：的离心率为，直线与椭圆仅有一个公共点. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l：，试问在x轴上是否存在一定点M，使得过M的直线交椭圆于P，Q两点，交l于N，且满足，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 16．已知椭圆：的焦距为，点在上. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆左焦点的直线与交于两点，线段的中垂线为，若直线与直线、直线分别交于点、，求的最小值. 17．已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为为坐标原点，点Q在椭圆C上，且满足. (1)求椭圆C的标准方程； (2)P为椭圆C的右顶点，设直线与椭圆C交于异于点P的两点，且，求的最大值. 18．已知椭圆的左、右顶点分别为、，上顶点为，且，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，椭圆C上一点M满足，求． 19．已知椭圆的离心率为，其左顶点A在圆上.直线AP与椭圆C的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q. (1)求椭圆C的标准方程；