黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023届高三第二次模拟考试数学试题

哈尔滨市第九中学2023届高三第二次模拟考试数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 命题“，”是真命题的充要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程在复数范围内有一根为，其中i为虚数单位，则复数在复平面上对应的点在（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知随机变量 分别满足，，且期望，又，则（    ） A. B. C. D. 5. 密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为份，每一份叫作密位的角.在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如密位写成“”，密位写成“”.若，则角可取的值用密位制表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作，比如：.已知，满足，则p可以是（ ） A. 23 B. 31 C. 32 D. 19 7. 已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线交于两点，且，，则当取得最小值时，双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知a，，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 已知圆C：的圆心坐标为，则（ ） A. ， B. 圆C的半径为2 C. 圆C上的点到直线距离的最小值为 D. 圆C上的点到直线距离的最小值为 10. 记A，B为随机事件，下列说法正确的是（ ） A. 若事件A，B互斥，，，则 B. 若事件A，B相互独立，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 11. 已知函数，且，的最小正周期为，，则（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 关于对称 12. 数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，且其体积小于正四面体外接球体积．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为，则下列结论正确的是（ ） A. 勒洛四面体最大的截面是正三角形 B. 若、是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值可能大于4 C. 勒洛四面体的体积是 D. 勒洛四面体内切球半径是 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸指定位置上. 13. 在等比数列中，，，则_________. 14. 设平面向量，的夹角为，且，则在上的投影向量是______. 15. 一组数据为148，150，151，153，153，154，155，156，156，158，163，165，则这组数据的第75百分位数是________. 16. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容.例如，用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）. 步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好经过点； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕； 步骤4：不停重复步骤2和步骤3，就能得到越来越多的折痕.圆面上所有这些折痕围成一条曲线，记为.现有半径为的圆形纸片，定点到圆心的距离为，按上述方法折纸，在上任取一点，为线段的中点，则的最小值为________. 四、解答题：本题共6小题，满分70分（17题10分，18题至22题12分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角C； （2）若，D为BC中点，，求AD的长. 18. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列 （2）设数列满足，求最小的实数，使得对一切正整数均成立． 19. 为调查某地区植被覆盖面积x（单位：公顷）和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据，部分数据如下： x … 2.7 3.6 3.2 … y … 578 647 62.6 … 经计算得：，，，. （1）利用最小二乘法估计建立y关于x的线性回归方程； （2）该小组又利用这组数据建立了x关于y的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系xOy下，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致. （