专题03 函数的概念与性质【多选题抢分攻略】冲刺2023年高考数学·多选题高频考点精讲精练（新高考通用）

【多选题抢分攻略】冲刺2023年高考数学·多选题高频考点精讲精练（新高考通用） 专题03 函数的概念与性质（高频重要考点） 目录一览 一、典例分析 二、考点梳理 三、专项突破训练 （1）函数及其表示（★） （2）函数的基本性质（单调、奇偶、对称、周期性）（★★★★） （3）函数的图像（★★） 四、答案速览 一、典例分析 【典例1】已知函数则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B． C．是增函数 D．的值域为 【典例2】已知定义域为的函数在上单调递增，，且图像关于对称，则（    ） A． B．周期 C．在单调递减 D．满足 【典例3】已知，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【典例详解】 【典例1】【答案】BD 【分析】利用反例可判断AC错误，结合函数的解析式可判断BD为正确，从而可得正确的选项. 【详解】，而，故不是偶函数，故A错误（特殊值法） 因为，故不是增函数，故C错误（特殊值法） 排除AC后，BD必为正确答案！ ，故B正确. 当时，，当时，， 故的值域为，故D正确.故选：BD. 解题小策略之排除法：在多项选择题中，尤其是当你确定其中两个选项为错误时，则另外两个肯定是正确答案。该题AC错误，故BD必然正确！本题排除AC的方法用特殊值法也是一个技巧！ 【典例2】【答案】AC 【分析】根据题意化简得到，得到的周期为,结合，求得，得到A正确，B错误；再由的对称性和单调性，得出在单调递减，可判定C正确；根据的周期求得，，，结合特殊函数的图象，可判定D不正确. 【详解】由，可得的对称轴为，所以 又由知：， 因为函数图像关于对称，即，故， 所以，即， 所以，所以的周期为,所以，所以，故A正确，B错误； 因为在上单调递增，且，所以在上单调递增， 又图像关于对称，所以在上单调递增， 因为关于对称，所以在上单调递减， 又因为关于对称，可得函数在单调递减，故C正确； 根据的周期为，可得， 因为关于对称，所以且， 即， 由函数在上单调递减，且关于对称，可得在上单调递增， 如图所示的函数中，此时， 所以不正确.故选：AC. 可用相辅相成法：在多项选择题中，如果两个或两个以上的选项之间存在承接关系或递进关系，即数个选项能同时成立，则往往这几个选项应一起被选择。本题优先判断函数周期性，再利用周期性和其他条件判断其他答案！ 【典例3】【答案】ABC 【分析】令，先分析函数的奇偶性，再分情况讨论的奇偶性，然后逐项分析四个选项即可求解. 【详解】令，则，故为偶函数.（为确定奇偶性，需要分类讨论） 当时，函数为偶函数，且其图象过点，显然四个选项都不满足. 当为偶数且时，易知函数为偶函数， 所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，则选项，符合； 若为正偶数，因为， 则，当时，，所以函数在上单调递增（利用导数确定单调性），又因为函数为偶函数，所以函数在上单调递减，选项符合；若为负偶数，易知函数的定义域为，排除选项. 当为奇数时，易知函数为奇函数， 所以函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，则选项符合， 若为正奇数，因为， 则，当时，，所以函数在上单调递增，又因为函数为奇函数，所以函数在上单调递增，选项符合； 若为负奇数，函数的定义域为， 不妨取，则，当时，（取特殊值和极限思想） 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当趋向于正无穷时，因为指数函数的增长速率比幂函数的快，所以趋向于正无穷； 所以内先减后增，故选项符合.故选：. 二、考点梳理 1.基本的函数定义域限制 （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； 2.分段函数的应用 （1）分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决，分段函数图像需要重点掌握！ （2）函数的图像变换 3.函数的奇偶性 （1）一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么就称函数为偶函数.偶函数图象关于轴对称. （2）一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么就称函数为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 4.函数的对称性 形式一： f (M) = f (N)，若M+N=d（d为常数），则f (x)有对称轴：x= 形式二： f (x) =g (x)关于原点对称，则P1（a,b）、P2（-a,-b）分别落在两者上面。 形式三：f (kx+b)为偶函数，则f (x)对称轴：； f (kx+b)为奇函数，则f (x)对称中心：； f (x) + f (-x)=k，则：f (x)有对称中心：. 5.函数的周期性 （1）定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，