2.6.1.3用正弦定理、余弦定理解三角形（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

6.1(第3课时)用余弦定理、正弦定理解三角形 北师大版（2019）高中数学必修第二册 第二章 平面向量及其应用 第6节 平面向量的应用 探究一 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 思考： 余弦定理、正弦定理是两个重要的定理，在解决与三角形有关的几何计算问题中有着广泛的应用. 在三角形的三边和三角这6个元素中，如果已知3个元素(至少含一条边长)，那么你能利用余弦定理、正弦定理求得其他3个元素吗？ 一、用余弦定理、正弦定理解三角形 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 1，用余弦定理、正弦定理解三角形： 在三角形的三条边和三个角这6个元素中，如果已知3个(至少含一边长),那么由余弦定理和正弦定理，就可以求得其他3个元素，具体情形如下: 情形1：已知两个角的大小与一条边的边长.(两角一边) 先由三角形内角和等于180°求出第三个角的大小，然后依据正弦定理求得另外两条边的边长. 情形2：已知两条边的边长及其夹角的大小.(两边夹角) 先由余弦定理求出第三条边的边长，然后再由余弦定理求得第二、第三个角的大小. 情形3：已知三条边的边长.(三边) 由余弦定理求出两个角，再利用三角形内角和等于180°求出第三个角. 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 情形4：已知两条边的边长和其中一边对角的大小.(两边对角) ①首先，由正弦定理求出第二条边所对角的正弦，这时要判断是两解、一 解还是无解， 然后，根据三角形内角和等于180°得到第三个角的大小， 最后，由余弦定理或正弦定理求得第三条边的边长. 一、用余弦定理、正弦定理解三角形 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 ②两边对角情况下判断三角形有几个解的步骤： 一、用余弦定理、正弦定理解三角形 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 1，用余弦定理、正弦定理求实际中的长度问题： (教材P122例10)自动卸货汽车的车厢采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆的长度，已知车厢的最大仰角是(指车厢AC与水平线之间的夹角)，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为，与水平线之间的夹角为，长为，计算的长（精确到）． 二、余弦定理、正弦定理的实际应用 分析： (1)什么是最大仰角？ (2)题目中涉及一个怎样的 三角形？ 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 二、余弦定理、正弦定理的实际应用 (解题关键)问题转化为：已知△中，，夹角，求． 解：由余弦定理得， 因此，顶杆BC约长1.89m. 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 2，用余弦定理、正弦定理求实际中的高度问题： (教材P123例11)如图，两点相距，与烟囱底部在同一水平线上，利用高为测角仪器，测得烟囱在点的仰角分别是，计算烟囱的高(精确到). 二、余弦定理、正弦定理的实际应用 解：如图，在Δ中， ， 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 二、余弦定理、正弦定理的实际应用 由正弦定理得 从而 ， 因此烟囱的高约为. 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 2，用余弦定理、正弦定理求实际中的高度问题： (教材P124例12)如图，为了测量河对岸的塔高，有不同的方案，其中之一是选取与塔底在同一水平面内的两个测点和，测得米，在点和点测得塔顶的仰角分别是45°和30°，且，求塔高． 二、余弦定理、正弦定理的实际应用 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 二、余弦定理、正弦定理的实际应用 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 教材P120例题 例7 如图，在梯形中，，求的正弦值和的长. 解 在中，， 由正弦定理得=，， 因为，所以， 于是， 在中，由正弦定理得 =，. 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 教材P121例题 例8 如图，一次机器人足球比赛中，甲队4号机器人由点开始做匀速直线 运动，到达点B时，发现足球在点处正以2倍于自己的速度向点做匀速直线滚动，已知，若忽略机器人原地旋转所需的时间，该机器人最快可在何处截住足球. 解：机器人最快截住足球的地方是机器人与足 球同时到达的地方，如图，设该机器人最快可 在点处截住足球，，由题意得， ， 在△ABC中，由余弦定理得 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 教材P121例题 即， 解得 ， 所以， 或(不符合题意，舍去). 因此，该机器人最快可在线段上 离点处的点处截住足球. 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 教材P122例题 例9 已知△的角所对的边分别是，向量 ， (1)若，求证:△为等腰三角形; (2)若⊥，求△的面积. ⑴证明：因为，所以， 由正弦定理可得 ， 其