安徽省池州市第一中学2022-2023学年高二下学期数学周考（2）

池州市第一中学2022—2023学年度第二学期 高二年级周考 数学（2） 满分100分 时间100分钟 一、单选题（每空4分，共28分） 1．设等差数列的前项和为，且，，则（    ） A．285 B．302 C．316 D．363 2．设等差数列的前项和为，且，则下列各项中值最大的为（    ） A． B． C． D． 3．已知等比数列满足，则（    ） A．32 B．64 C．96 D．128 4．已知数列满足，则的前100项和为（    ） A． B． C． D． 5．设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A．2 B．-1 C．1 D． 6．已知函数，若，使得成立，则实数a的取值范围是（　　） A．（，+∞] B．（-∞，] C． D．（-∞，） 7．若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每空4分，共12分） 8．设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．当时，取得最大值 C． D．使得成立的最大自然数是15 9．对于函数，下列说法正确的有（    ） A．在处取得极大值 B．在处取得最大值 C．有两个不同零点 D． 10．将甲､乙､丙､丁4名志愿者分别安排到三个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，则下列选项正确的是（    ） A．共有18种安排方法 B．若甲､乙被安排在同社区，则有6种安排方法 C．若社区需要两名志愿者，则有24种安排方法 D．若甲被安排在社区，则有12种安排方法 三、填空题（每空4分，共16分） 11．如图，某地有南北街道6条､东西街道5条，一快递员从地出发，送货到地，且途经地，要求所走路程最短，不同的走法共有__________种. 12．街道上有编号1，2，.3，....10的十盏路灯，为节省用电又能看清路面，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，满足条件的关灯方法有__________种. 13．若函数没有极值，则实数a的取值范围是___________. 14.已知在上是严格增函数，则a的最大值是_______． 四、解答题 15．（本小题满分10分） （1）设有6个相同的小球，放入3个不同的盒子里，每个盒子至少有1个小球，有多少种不同的放法？ （2）设有6个不同的小球，放入3个不同的盒子里，盒子不允许为空，有多少种不同的放法？（结果用数字表示） 16．（本小题满分10分） 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，为的中点. (1)证明：. (2)求二面角的平面角的余弦值. 17．（本小题满分12分） 已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 18．（本小题满分12分） 已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)设函数有两个极值点，，且，求证： 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 池州市第一中学2022—2023学年度第二学期 高二年级周考 数学（2）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B D C C B ABC ABD BD 11．40 12． 13．[0，2]14. 3 15．（1）10；（2）540. 【解析】（1）利用隔板法：由题可知使每个盒子都能分到小球的分法有种. （2）分成三类：，，；，，；，，，先分组再排列. 第一类：；第二类：； 第三类：，共有540种. 16．【解析】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，. 因为，所以； （2）设平面的法向量为， 则取，可得. 设平面的法向量为， 则取，可得. . 故二面角的平面角的余弦值为. 17．【解析】（1）由题知，，，， 由的面积为，得， 又，代入可得，，∴椭圆的方程为. （2）联立得， 设，，可得，， 由题知， 即， 即，解得， ∴直线的方程为，故直线恒过定点. 18．【解析】（1）. 当时，，令，有或，当或时，；当时，.所以的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）由于有两个极值点，则有两个不相等的实根，所以，即， ，设，则， 在上单调递减，所以，即 . 学科网（北京）股份有限公司 $